高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

53.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学三点剖析一、直线的方向向量【例1】已知点A(130)B(243)以的方向为正向建立数轴试求点P使得∶=1∶3.思路分析：求点P不妨先设P(xyz)再利用条件构造等式.解：设P(xyz)由已知=3∴=3()∴4=+3=+∴(xyz)=(243)+(130)=().∴x=y=z=即点P().温馨提示求一点坐标通常先设出点再寻找条件等式或构造方程组求解.二、平行与垂直【例2】已知三棱锥O—ABC中OA=OB=1OC=2OAOBOC两两垂直如何找出一点D使BD∥ACDC∥AB？思路分析:首先建立空间直角坐标系利用点的坐标来解决平行问题.解：建立如下图所示的空间直角坐标系则A(100)B(010)C(002)设所求点D(xyz).由BD∥ACDC∥AB∥∥因此即D点的坐标为(-112).温馨提示将线(或线段)的关系转化为向量关系再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.三、角和距离问题【例3】如下图SA⊥面ABCAB⊥BCSA=AB=BC求异面直线SC与AB所成角的余弦值.思路分析:可先建立空间直角坐标系利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.解:以点A为坐标原点AC为y轴的正向建立空间直角坐标系.设SA=AB=BC=a则B(aa0)C(0a0)S(00a)那么AB=(aa0)=(0-a).由cos〈〉=.故SC与AB所成角的余弦值为.温馨提示在求解有关角或距离的问题时根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.各个击破类题演练1已知A(110)B(223)且=求点C坐标.解析:设C(xyz).由=得==+∴(xyz)=(110)+(223)=(3)∴C(3).变式提升1已知梯形ABCD中AB∥CD其中A(112)B(234)若C点(011)D点为(2xy)试求D点坐标.解析:=(122)=(2x-1y-1)则.得x=5y=5.∴D点坐标为(255).类题演练2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2P、Q分别是BC、CD上的动点且|PQ|=确定P、Q的位置使得QB1⊥PD1.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系设BP=t得CQ=DQ=2那么B1(202)D1(022)P(2t0)Q(220).从而=(-22)=(-22-t2).由QB1⊥PD1·=0即-2(2-t)+4=0t=1.故P、Q分别为BC、CD的中点时QB1⊥PD1；变式提升2棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.求证：EF⊥CF.证明:建立空间直角坐标系O—xyz则D（000）E(00)F(0)G(11)C(010)∴=(-)=(-0)∴·=×+×()+0=0.∴CF⊥EF.类题演练3知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD且PO=6求PO的中点M到△PBC的重心N的距离.解：建立如右图所示的空间直角坐标系则B（220）C（-220）P（006）由题意得M（003）N（02）.于是|MN|==.故M到△PBC的重心N的距离为.变式提升3正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为1E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求与所成角的余弦;(2)求CE的长.解析：建立空间直角坐标系=（-）=（10）=（0-1）.(1)∵·=||=||=.∴cos〈〉=(2)||=.