高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案.doc

2.5圆锥曲线的统一定义
[学习目标]1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．

知识点一圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
0<e<1时，它表示椭圆；e>1时，它表示双曲线；
e＝1时，它表示抛物线．
知识点二准线方程
对于椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：x＝eq\f(a2,c)，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：x＝－eq\f(a2,c)；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y＝±eq\f(a2,c).
思考
1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？
答案eq\f(1,e).
2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？
答案当F∉l时，动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．

题型一统一定义的简单应用
例1椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为________．
答案8
解析如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，
而eq\f(PF1,2.5)＝e＝eq\f(4,5)，∴PF1＝2，
∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.
反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．
一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．
跟踪训练1已知椭圆eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
解方法一由eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得a＝2b，c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2).
由椭圆第一定义，
PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.
由椭圆第二定义，eq\f(PF1,d1)＝e，d1为P到左准线的距离，
∴d1＝eq\f(PF1,e)＝2eq\r(3)b，即P到左准线的距离为2eq\r(3)b.
方法二∵eq\f(PF2,d2)＝e，d2为P到右准线的距离．
e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(2\r(3),3)b.
又椭圆的两准线的距离为2·eq\f(a2,c)＝eq\f(8\r(3),3)b，
∴P到左准线的距离为eq\f(8\r(3),3)b－eq\f(2\r(3),3)b＝2eq\r(3)b.
题型二应用统一定义转化求最值
例2已知椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小．
解设d为M到右准线的距离．
∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，
∴eq\f(MF,\f(1,2))＝d，即d＝2MF(如图)．
故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.
显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(eq\f(2,3)eq\r(15)，－1)．
反思与感悟本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决．
跟踪训练2已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MA＋eq\f(3,5)MF的值最小，并求这个最小值．
解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝eq\f(MF,e)(如图)．
又a＝3，b＝4，c＝5，e＝eq\f(5,3)，
∴MN＝eq\f(3,5)MF，∴MA＋eq\f(3,5)MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小，即MA＋eq\f(3,5)MF取得最小值，此时AN＝9－eq\f(a2,c)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5)，
∴MA＋e