高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案.doc

2.5圆锥曲线的统一定义[学习目标]1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．知识点一圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．0<e<1时它表示椭圆；e>1时它表示双曲线；e＝1时它表示抛物线．知识点二准线方程对于椭圆eq\f(x2a2)＋eq\f(y2b2)＝1(a>b>0)和双曲线eq\f(x2a2)－eq\f(y2b2)＝1(a>0b>0)中与F(c0)对应的准线方程是l：x＝eq\f(a2c)与F′(－c0)对应的准线方程是l′：x＝－eq\f(a2c)；如果焦点在y轴上则两条准线方程为y＝±eq\f(a2c).思考1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案eq\f(1e).2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答案当F∉l时动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．题型一统一定义的简单应用例1椭圆eq\f(x225)＋eq\f(y29)＝1上有一点P它到左准线的距离等于2.5那么P到右焦点的距离为________．答案8解析如图所示PF1＋PF2＝2a＝10e＝eq\f(ca)＝eq\f(45)而eq\f(PF12.5)＝e＝eq\f(45)∴PF1＝2∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征解题时要灵活运用．一般地如果遇到有动点到两定点距离和的问题应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题应自然联想到统一定义；若两者都涉及则要综合运用两个定义才行．跟踪训练1已知椭圆eq\f(x24b2)＋eq\f(y2b2)＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)求P到左准线的距离．解方法一由eq\f(x24b2)＋eq\f(y2b2)＝1得a＝2bc＝eq\r(3)be＝eq\f(\r(3)2).由椭圆第一定义PF1＋PF2＝2a＝4b得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.由椭圆第二定义eq\f(PF1d1)＝ed1为P到左准线的距离∴d1＝eq\f(PF1e)＝2eq\r(3)b即P到左准线的距离为2eq\r(3)b.方法二∵eq\f(PF2d2)＝ed2为P到右准线的距离．e＝eq\f(ca)＝eq\f(\r(3)2)∴d2＝eq\f(PF2e)＝eq\f(2\r(3)3)b.又椭圆的两准线的距离为2·eq\f(a2c)＝eq\f(8\r(3)3)b∴P到左准线的距离为eq\f(8\r(3)3)b－eq\f(2\r(3)3)b＝2eq\r(3)b.题型二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆eq\f(x28)＋eq\f(y26)＝1内有一点P(1－1)F是椭圆的右焦点在椭圆上求一点M使MP＋2MF之值为最小．解设d为M到右准线的距离．∵e＝eq\f(ca)＝eq\f(12)eq\f(MFd)＝eq\f(12)∴eq\f(MF\f(12))＝d即d＝2MF(如图)．故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.显然当P、M、M′三点共线时所求的值为最小从而求得点M的坐标为(eq\f(23)eq\r(15)－1)．反思与感悟本例中利用统一定义将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离再利用图形形象直观使问题得到简捷的解决．跟踪训练2已知双曲线eq\f(x29)－eq\f(y216)＝1的右焦点为F点A(92)试在双曲线上求一点M使MA＋eq\f(35)MF的值最小并求这个最小值．解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N由第二定义可知MN＝eq\f(MFe)(如图)．又a＝3b＝4c＝5e＝eq\f(53)∴MN＝eq\f(35)MF∴MA＋eq\f(35)MF＝MA＋MN显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小即MA＋eq\f(35)MF取得最小值此时AN＝9－eq\f(a2c)＝9－eq\f(95)＝eq\f(365)∴MA＋eq\f(35)MF的最小值为eq\f(365)此时点M(eq\f(3\r(5)2)2)．题型三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆