高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算达标练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题.doc

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空间向量的数量积运算

A级基础巩固
一、选择题
1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中的真命题是()
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案：B
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()
A．13 B.eq\r(13) C．2 D.eq\r(5)
解析：|a＋3b|＝eq\r(（a＋3b）2)＝eq\r(a2＋6a·b＋9b2)＝
eq\r(1＋6×cos60°＋9)＝eq\r(13).
答案：B
3．若a与a＋2b的数量积为6，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b之间的夹角为()
A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2,3)π D.eq\f(5,6)π
答案：B
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝0，eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝0，eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是()
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案：C
5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为()
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
答案：D
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.
答案：－13
7．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3eq\r(2)×4cos135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－eq\f(3,2).
答案：－eq\f(3,2)
8．已知向量a与b的夹角为135°，且|a|＝|b|＝4，则a·(2a－b)＝________．
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×42－4×4·cos135°＝32＋8eq\r(2)
答案：32＋8eq\r(2)
三、解答题
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝6.求PC的长．

解：因为eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))，
所以|eq\o(PC,\s\up14(→))|2＝eq\o(PC,\s\up14(→))·eq\o(PC,\s\up14(→))＝(eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))2
＝|eq\o(PA,\s\up14(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up14(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up14(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＋2eq\o(PA,\s\up14(→))·eq\o(DC,\s\up14(→))＋2eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(DC,\s\up14(→))
＝62＋42＋32＋2·|eq\o(AD,\s\up14(→))|·|eq\o(DC,\s\up14(→))|·cos120°＝49.
所以|eq\o(PC,\s\up14(→))|＝7，故PC的长为7.
10．如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．

(1)证明：eq\o(AB1,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))