高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案.doc

3.1.3空间向量的数量积运算[目标]1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点]空间向量的数量积运算．[难点]利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：ab是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O作eq\o(OA\s\up16(→))＝aeq\o(OB\s\up16(→))＝b.(3)结论：∠AOB叫做向量ab的夹角记作ab．2．范围：ab∈[0π]其中(1)当ab＝0时a与b的方向相同．(2)当ab＝π时a与b的方向相反．(3)当ab＝eq\f(π2)时a与b互相垂直记作a⊥b.[答一答]1．若ab是空间的两个非零向量则－ab＝a－b＝ab对吗？提示：不对．∵－a与a－b与b分别是互为相反向量∴－ab＝a－b＝π－ab．知识点二空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量ab则|a||b|cosab叫做ab的数量积记作a·b.即a·b＝|a||b|cosab．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量你能说出a·b的几何意义吗？提示：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．3．对于向量abc由a·b＝a·c能得到b＝c吗？提示：不能若abc是非零向量则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0即可能有a⊥(b－c)成立．4．对于向量ab若a·b＝k能不能写成a＝eq\f(kb)？提示：不能向量没有除法eq\f(kb)无意义．5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不一定成立？提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cosab)c即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosbc)即a(b·c)＝λ2a因此(a·b)c表示一个与c共线的向量而a(b·c)表示一个与a共线的向量而a与c不一定共线所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．1.求两向量的数量积时关键是搞清楚两个向量间的夹角在求两个向量间的夹角时可用平移向量的方法把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离可以转化为求向量的模的问题其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系其思路是将直线的方向向量用已知向量表示然后进行数量积的运算．类型一空间向量的数量积运算【例1】如下图所示已知正三棱锥A­BCD的侧棱长和底面边长都是a点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积．(1)eq\o(AB\s\up16(→))·eq\o(AC\s\up16(→))；(2)eq\o(AD\s\up16(→))·eq\o(BD\s\up16(→))；(3)eq\o(GF\s\up16(→))·eq\o(AC\s\up16(→))；(4)eq\o(EF\s\up16(→))·eq\o(BC\s\up16(→)).【解】(1)由题知|eq\o(AB\s\up16(→))|＝|eq\o(AC\s\up16(→))|＝a且〈eq\o(AB\s\up16(→))eq\o(AC\s\up16(→))〉＝60°∴eq\o(AB\s\up16(→))·eq\o(AC\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(12)a2.(2)|eq\o(AD\s\up16(→))|＝a|eq\o(BD\s\up16(→))|＝a且〈eq\o(AD\s\up16(→))eq\o(BD\s\up16(→))〉＝60°.∴eq\o(AD\s\up16(→))·eq\o(BD\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(12)a2.(3)|eq\o(GF\s\up16(→))|＝eq\f(12)a|eq\o(AC\s\up16(→))|＝a又eq\o(GF\s\up16(→))∥eq\o(AC\s\up16(→))∴〈eq\o(GF\s\up16(→))eq\o(AC\s\up