创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量练习-人教版高三全册数学试题.doc

专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习
一、选择题
1.设a，b是两个非零向量.()
A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立.
答案C
2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()
A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)
C.－eq\f(3\r(2),2) D.－eq\f(3\r(15),2)
解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝5eq\r(2)，故eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3,2)eq\r(2).
答案A
3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))
p3：|a－b|＞1⇔θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))
p4：|a－b|＞1⇔θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))
其中的真命题是()
A.p1，p4 B.p1，p3
C.p2，p3 D.p2，p4
解析|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝a·b＞－eq\f(1,2)，
∴θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；
若|a－b|＞1，同理求得a·b＜eq\f(1,2)，
∴cosθ＝a·b＜eq\f(1,2)，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，故p1，p4正确，应选A.
答案A
4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为()
A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6)
C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)
解析法一由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，
整理可得a·b＝0.①
由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，
可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②
将①代入②，得b2＝3a2，
即|b|＝eq\r(3)|a|.
而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，
故cos〈b，a＋b〉＝eq\f(b·（a＋b）,|b|·|a＋b|)＝eq\f(b2,\r(3)|a|·2|a|)
＝eq\f(3a2,\r(3)|a|·2|a|)＝eq\f(\r(3),2).
又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝eq\f(π,6).故选A.
法二如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.
由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，
可得|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OA,\s\up6(→))|，
所以平行四边形OACB是矩形，
eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.
从而|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6