创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理
一、选择题
1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α等于()
A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)
C.－eq\f(3,4) D.－eq\f(4,3)
解析∵sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，
∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).
用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，
∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).故选C.
答案C
2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()
A.10 B.9
C.8 D.5
解析化简23cos2A＋cos2A＝0，
得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，
解得cosA＝eq\f(1,5)，
由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＝5.
答案D
3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则cosA＝()
A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)
C.－eq\f(\r(10),10) D.－eq\f(3\r(10),10)
解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝eq\f(π,4)，BD＝eq\f(1,3)BC，DC＝eq\f(2,3)BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝eq\f(1＋2,1－1×2)＝－3，所以cosA＝－eq\f(\r(10),10).
答案C
4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，
则()
A.3α－β＝eq\f(π,2) B.2α－β＝eq\f(π,2)
C.3α＋β＝eq\f(π,2) D.2α＋β＝eq\f(π,2)
解析由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，
即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
∴sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).
∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴由sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq\f(π,2)－α，
∴2α－β＝eq\f(π,2).
答案B
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()
A.3 B.eq\f(9\r(3),2)
C.eq\f(3\r(3),2) D.3eq\r(3)
解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.
∵C＝eq\f(π,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得
ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故选C.
答案C
二、填空题
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，则a的值为________.
解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，
S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc