创新设计（江苏专用）高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习 文-人教版高三全册数学试题.doc

专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习文
一、填空题
1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝________.
解析∵sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，
∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).用降幂公式化简得4sin2α＝
－3cos2α，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).
答案－eq\f(3,4)
2.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.
解析化简23cos2A＋cos2A＝0，
得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，
解得cosA＝eq\f(1,5)，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＝5.
答案5
3.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则cosA＝________.
解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝eq\f(π,4)，BD＝eq\f(1,3)BC，DC＝eq\f(2,3)BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝eq\f(1＋2,1－1×2)＝－3，所以cosA＝－eq\f(\r(10),10).
答案－eq\f(\r(10),10)
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是________.
解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.
∵C＝eq\f(π,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得
ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).
答案eq\f(3\r(3),2)
5.(2012·江苏卷)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________.
解析∵α为锐角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，
∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).
∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))
＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,4)
＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))
＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)－1))
＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).
答案eq\f(17\r(2),50)
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－