2.4.1-抛物线及其标准方程2.doc

第2课时
教学目标
知识与技能
1．掌握定义法求解动点轨迹方程的基本步骤．
2．加深理解抛物线的定义，并拓展推广抛物线定义．
3．能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题．
4．能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力．
过程与方法
1．理解求解轨迹的重要方法——定义法以及其中所体现的数形结合思想．
2．将折线问题转化为直线问题来解决的化归思想的形成．
3．运用抛物线方程的相关知识解决实际应用问题．
情感、态度与价值观
通过经历轨迹方程的求解，及定义与方程的深入探求，经历探求成功的心理体验，激发学生主动探究的动机，提高学生对数形结合思想、化归思想、创新思维的热情．
重点难点
教学重点：抛物线的定义及方程的运用．
教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化．
eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))
复习引入
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．推导抛物线的标准方程

如图所示，建立直角坐标系，设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为(eq\f(p,2)，0)，准线l的方程为x＝－eq\f(p,2)，
设抛物线上的点M(x，y)，则有eq\r(x－\f(p,2)2＋y2)＝|x＋eq\f(p,2)|.
化简方程得y2＝2px(p>0)．
方程y2＝2px(p>0)叫做抛物线的标准方程．
(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(eq\f(p,2)，0)，它的准线方程是x＝－eq\f(p,2).
(2)一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下．
3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|＝p(p>0)，则抛物线的标准方程如下：

(1)y2＝2px(p>0)，焦点：(eq\f(p,2)，0)，准线l：x＝－eq\f(p,2).
(2)x2＝2py(p>0)，焦点：(0，eq\f(p,2))，准线l：y＝－eq\f(p,2).
(3)y2＝－2px(p>0)，焦点：(－eq\f(p,2)，0)，准线l：x＝eq\f(p,2).
(4)x2＝－2py(p>0)，焦点：(0，－eq\f(p,2))，准线l：y＝eq\f(p,2).
热身练习
1．点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
学情预测：学生可能会由已知，得点M属于集合P＝{M||MF|＋1＝|x＋5|}．
将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐．
引导学生仔细分析题目的条件，“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0为准线的抛物线．

解：如图，设点M的坐标为(x，y)．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线．
∵eq\f(p,2)＝4，∴p＝8.
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2＝16x.
设计意图：此题为抛物线定义的灵活应用，加强对抛物线定义的理解与认识．
2．说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝8x焦点为______________，准线方程为____________________．
(2)x2＝4y焦点为______________，准线方程为____________________．
(3)2y2＋3x＝0焦点为______________，准线方程为____________________．
(4)y＝－eq\f(1,6)x2焦点为______________，准线方程为____________________．
解：(1)(2,0)，x＝－2(2)(0,1)，y＝－1(3)(－eq\f(3,8)，0)，x＝eq\f(3,8)(4)(0，－eq\f(3,2))，y＝eq\f(3,2)
设计意图：复习已知抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程的方法：关键要确定轴向．
3．根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是F(－3,0)．
(2)准线方程是y＝3.
(3)焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上．
解：(1)y2＝－12x(2)x2＝－12y(3)x2＝－8y或x2＝8y