2.4.1抛物线及其标准方程.doc

2.4.1HYPERLINK"://ks5u/"\t"_parent"抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是()
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(eq\f(1,4)，－eq\f(1,4)) D．(eq\f(1,16)，－eq\f(1,16))
[答案]A
[解析]y＝eq\f(1,4)x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
2．(·全国卷Ⅰ)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，那么该双曲线的离心率等于()
A.eq\r(3) B．2
C.eq\r(5) D.eq\r(6)
[答案]C
[解析]此题主要考查圆锥曲线的有关知识．
双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.
∵渐近线与y＝x2＋1相切，
∴x2±eq\f(b,a)x＋1＝0有两相等根，
∴Δ＝eq\f(b2,a2)－4＝0，∴b2＝4a2，
∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，那么点A与抛物线焦点的距离为()
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案]D
[解析]解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，
∴x＝4，∴A(4,4)，
焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为eq\r(42＋(4－1)2)＝eq\r(25)＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
4．P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，那么焦点到准线的距离为()
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案]B
[解析]抛物线准线方程为x＝－p，由定义得p＋8＝10，∴p＝2，
∴2p＝4，应选B.
5．抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，那么△OFM的面积(O为原点)为()
A．1 B.eq\r(2)
C．2 D．2eq\r(2)
[答案]C
[解析]抛物线准线方程为x＝eq\f(p,2)，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋eq\f(p,2)|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，那么M(4，±4)，于是S△OFM＝2.
6．设定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，那么d1＋d2取最小值时，P点坐标为()
A．(0,0) B．(1eq\r(2))
C．(2,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,2)))
[答案]C
[解析]连结PF，那么d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|知d1＋d2最小值是|MF|，当且仅当M、P、F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))与y2＝2x，联立求得x＝2，y＝2；x＝eq\f(1,8)，y＝－eq\f(1,2)(舍去)，此时，P点坐标为(2,2)．
7．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都是满足|PQ|≥|a|，那么a的取值范围是()
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．[0,2] D．(0,2)
[答案]B
[解析]设点Q的坐标为(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，由|PQ|≥|a|，
得yeq\o\al(2,0)＋(eq\f(y\o\al(2,0),4－a))2≥a2，
整理得yeq\o\al(2,0)(yeq\o\al(2,0)＋16－8a)≥0，
∵yeq\o\al(2,0)≥0，
∴yeq\o\al(2,0)＋16－8a≥0，即a≤2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)恒成立，而2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)的最小值为2.
∴a≤2.
8．抛物线y＝eq\f(1,4a)x2(a≠0)的焦点坐标为()
A．a>0时为(0，a)，a<0时(0，－a)
B．a>0时为(0，eq\f(a,2))，a<0时为(0，－eq\f(a,2))
C．(0，a)
D．(eq\f(1,a)，0