临界与极值问题.ppt

一物体平衡的临界与极值问题临界问题是指：某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的例1．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．【解析】先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg ①
再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有：
FN－mgcosθ＝0 ②
FT－Ffm－mgsinθ＝0 ③
由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ④
联立①②③④四式解得mB＝m(sinθ＋μcosθ)．
再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：
FN－mgcosθ＝0 ⑤
FT＋Ffm－mgsinθ＝0 ⑥
由摩擦力公式知：Ffm＝μFN⑦
联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sinθ－μcosθ)．
综上所述，物体B的质量的取值范围是：
m(sinθ－μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ)．.例3、某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知斜面与物体间滑动摩擦因数μ=0.75，那么倾角θ至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开始滑下？【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时θ最小。
【解答】依题意，
mgsinθ=μmgcosθ
tgθ=μ
θ≥arctgμ
说明：tgθ=μ是一重要临界条件。
其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；
tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；
tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
1.将物体静止置于斜面上，
如tgθ≤μ，则物体保持静止；
如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。
2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上，
如tgθ<μ，则物体减速，最后静止；
如tgθ=μ，则物体保持匀速运动；
如tgθ>μ，则物体做加速运动。
因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则：
（1）该小组必须测定的物理量是________。
2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_____________。例5、木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角α为何值时拉力F最小？这个最小值为多大？例7、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳oB和oC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。？解析】对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力F较小时，OB张紧，OC有可能松弛，当力F较大时，OC张紧，OB有可能松弛．由此可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件．【例6】如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150N，而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求物体最大重力不能超过多少？处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，搞清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合。例1.如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止.物体A的受力个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P相连，P与斜放在其上的固定档板MN接触且处于静止状态，则斜