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临界极值问题

要点精析
一、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题
例2如图3所示，质量为3m的竖直圆环A
的半径为r，固定在质量为2m的木板B上，
木板B放在水平地面上，不能左右运动．在
环的最低点静止放置一质量为m的小球C，
给小球一水平向右的瞬时速度v1，小球会在
环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不
会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足()
A．最小值eq\r(4gr)B．最大值3eq\r(gr)
C．最小值eq\r(5gr)D．最大值eq\r(10gr)

解析为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行受力分析，临界条件下是小球只受重力，由mg＝meq\f(v2,r)知小球在最高点时的速度至少为v＝eq\r(gr)
从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得
eq\f(1,2)mv12＝eq\f(1,2)mv2＋2mgr
小球在最低点时v1＝eq\r(5gr)
所以小球在最低点时的瞬时速度至少为v1min＝eq\r(5gr)，C正确．
如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对A的弹力最多为FN′＝5mg，A对小球的竖直向下的弹力最多为FN＝FN′＝5mg，对小球在最高点进行受力分析可知FN＋mg＝meq\f(v′2,r)
解得小球在最高点时的速度v′＝eq\r(6gr)
对小球由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv1′2＝eq\f(1,2)mv′2＋2mgr
解得小球在最低点时v1′＝eq\r(10gr)
所以小球在最低点时的瞬时速度最大为v1max＝eq\r(10gr)，
D正确．答案为C、D
[点评]临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论，通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值．
一、静摩擦力的范围引出的临界问题
例1如图1所示，倾角为α＝60°的斜面上，
放一质量为1kg的物体，用k＝100N/m
的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在
PQ之间任何位置都能处于静止状态，而
超过这一范围，物体都会沿斜面滑动，若
AP＝22cm，AQ＝8cm，试求轻质弹簧原长及物体与斜面间的最大静摩擦力的大小．(g取10m/s2)

解析物体在临界位置Q点，弹簧被压缩，压缩量为x＝
L－AQ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力Fm沿斜面向上；物体在临界位置P点，弹簧被拉长，伸长量为x，物块有上滑趋势，最大静摩擦力Fm沿斜面向下，受力图如图(b)．

由上两图分别列出：
Fm＝k(L－AQ)＋Gsin60°①
Fm＝k(AP－L)－Gsin60°②
解①②式得：L＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.15－\f(\r(3),20)))m，代入①式得：Fm＝7N.

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.15－\f(\r(3),20)))m7N
[点评]由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩擦力向上达到最大值．
针对训练1如图2所示，位于斜面上的物体M在沿斜面向上的力F的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力()
(1)方向可能沿斜面向上(2)方向可能沿斜面向下(3)大小可能等于零(4)大小可能等于F
A．仅(1)正确B．仅(1)(3)正确
C．仅(2)(3)正确D．全部正确

解析这是一个临界状态问题．由于物体静止，
其所受合力应该为零，如图所示，除受重力Mg、
推力F、支持力FN外，物体是否受到静摩擦力取
决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力
必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于Mg沿斜
面的分力与F的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在，并且其方向向下，由平衡条件有
F－Mgsinθ－Ff＝0即Ff＝F－Mgsinθ.
于是有以下三种可能的临界状态：
当F＞Mgsinθ时，Ff＞0，方向沿斜面向下；
当F＝Mgsinθ时，Ff＝0，物体不受摩擦力；
当Mgsinθ＝2F时，Ff＝F，方向沿斜面向上．

(D)

针对训练2如图4所示，光滑管形圆轨道半径
为R(管径远小于R)，小球a，b大小相同，质
量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩
擦运动，两球先后以相同速度v通过轨道最低
点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，
以下说法正确的是()
A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球