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基于Matlab的Lorenz系统仿真研究

摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。首先使用matlab分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统

1.引言
Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。Lorenz方程的表达式如下：
dxdt=σ(y-x)dydt=μ-zx-ydzdt=-bz+xy
其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图
首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：

functiondx=Lorenz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];
end

然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：
>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>>subplot(2,2,1)
>>plot(x(:,1),x(:,3))
>>title('(a)')
>>subplot(2,2,2)
>>plot(x(:,2),x(:,3))
>>title('(b)')
>>subplot(2,2,3)
>>plot(x(:,1),x(:,2))
>>title('(c)')
>>subplot(2,2,4)
>>plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>>title('(d)')
运行上述程序，可得到如下波形：

其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上的投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上的投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形。
由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上的投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上的投影用红色。程序如下所示：
>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>>plot(x(:,1),x(:,3))
>>holdon
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>>x0=[0.1,0.11,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>>plot(x(:,1),x(:,3),'r*')

得到的图形如下所示：

可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明了系统的敏感性。
3.matlab对Lorenz系统仿真
首先利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统的模型，仿真模型如下图所示：

在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观察参数μ取不同值时系统的运行状态。
根据文献[1]的分析，当参数0<μ<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：

可见，系统很快地趋向并稳定在O（0,0,0），验证了前面所述。
根据文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。此时原点的特征值中有正值，因