基于matlab的Lorenz系统仿真研究样本.doc

基于MatlabLorenz系统仿真研究摘要：本文运用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。一方面使用matlab分析求解Lorenz方程，运用matlab绘图功能，直观地观测了Lorenz混沌吸引子三维图形，并简朴观测了Lorenz混沌系统对初值敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下Lorenz系统仿真成果；最后验证了通过添加反馈控制方式，可以使Lorenz方程不稳定平衡点成为稳定平衡点。核心词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国知名气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验研究，建立三个拟定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌领域典型方程，Lorenz系统也是第一种体现奇怪吸引子持续动力系统，具备着举足轻重作用。Lorenz方程表达式如下：其中，σ、μ、b为正实常数。本文运用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真成果，加深了对Lorenz系统结识。2.matlab求解Lorenz方程并绘图一方面建立m文献“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：functiondx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后运用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：>>clf>>x0=[0.1,0.1,0.1];>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>>subplot(2,2,1)>>plot(x(:,1),x(:,3))>>title('(a)')>>subplot(2,2,2)>>plot(x(:,2),x(:,3))>>title('(b)')>>subplot(2,2,3)>>plot(x(:,1),x(:,2))>>title('(c)')>>subplot(2,2,4)>>plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>>title('(d)')运营上述程序，可得到如下波形：其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面上投影类似于横写“8”字形。由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具备敏感性，初值很小差别会引起系统行为明显变化。因而，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z平面上投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上投影用红色。程序如下所示：>>clf>>x0=[0.1,0.1,0.1];>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>>plot(x(:,1),x(:,3))>>holdon>>x0=[0.1,0.1,0.1];>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>>x0=[0.1,0.11,0.1];>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>>plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到图形如下所示：可以看到，虽然初值只有0.01变化，红色与蓝色图形明显不重叠，这证明了系统敏感性。3.matlab对Lorenz系统仿真一方面运用matlabSimulink功能，搭建Lorenz系统模型，仿真模型如下图所示：在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观测参数μ取不同值时系统运营状态。依照文献[1]分析，当参数0<μ<1时，只有一种稳定平衡点O（0,0,0）。取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运营仿真。得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：可见，系统不久地趋向并稳定在O（0,0,0），验证了前面所述。依照文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。此时原点特性值中有正值，因而原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1<μ<13.926时，不稳定流形最后螺旋地趋于与之同侧平衡点P+或P-；当μ=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O，即浮现同宿轨；当μ>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最后趋于与之异侧P+或P-。可见，μ是一种同宿分岔点。因而，取初值x=y=