基于matlab的Lorenz系统的仿真研究.docx

MATLAB
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以下报告完成的是大作业第七题：

7.Simulink仿真在高等数学课程中的应用

21130223宋沛儒

基于MATLAB/Simulink对Lorenz系统仿真研究
21130223宋沛儒
1.引言
1963年Lorenz通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz吸引子[1]，Lorenz通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。Lorenz揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。Lorenz系统方程如下：
（1）
其中，a，b，c为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab，对Lorenz系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab求解Lorenz系统
首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：
functiondx=Lorenz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];
end

然后利用ode45（Runge-Kutta算法）命令求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：

>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>>subplot(2,2,1)
>>plot(x(:,1),x(:,3))
>>title('(a)')
>>subplot(2,2,2)
>>plot(x(:,2),x(:,3))
>>title('(b)')
>>subplot(2,2,3)
>>plot(x(:,1),x(:,2))
>>title('(c)')
>>subplot(2,2,4)
>>plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>>title('(d)')
运行后，得如下波形：

图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。四张图都类似于“8”字形。
3.Lorenz系统对初值的敏感性
此时因为固定参数a=10，b=2.6667，c=30时，为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统的大变化。例如在上例中取初值x=z=0.1，y=0.11，绘制此时混沌吸引子在x-z上的投影，并与x=y=z=0.1在同一张图比较。（初值为x=y=z=0.1时投影用蓝色，初值为x=z=0.1，y=0.11时投影用红色）程序如下：
>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0);
>>plot(x(:,1),x(:,3))
>>holdon
>>x0=[0.1,0.11,0.1];
>>[t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0);
>>plot(x(:,1),x(:,3),'r*')
得到图形如下：

可以看到初值y仅变化0.01，图中红色与蓝色不重合出明显。证明了Lorenz系统的敏感性。
4.matlab对Lorenz系统的仿真
由文献[1]可知在上述方程组（1）中，令，当c>1时，系统有三个平衡点：，，。当c=1时，系统在原点失去稳定。当c<1时，原点是唯一的平衡点并且是汇点。
利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统模型，并探讨参数对Lorenz系统的影响。仿真模型如图：

在仿真模型中，取参数a=10，b=8/3，观察参数c取不同值时系统的运行状态。
根据文献[1]的分析，
当参数0<c<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。取初值为x=y=z=2,参数c=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：

可见，系统很快地趋向并稳定在O（0,0,0），验证了前面所述。
当c>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和S+，S-。此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1<c<13.926时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点S+或S-；当c=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O，即出现同宿轨；当c>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的S+或S-。可见，c是一个同宿分岔点。因此，取初值x=y=z=2，c=8，仿真停止时间为50，运