导数单调性.docx

星火教育一对一辅导教案学生
姓名性别年级高二学科数学授课
教师上课
时间第（）次课
共（）次课课时：3课时教学
课题1.3导数在研究函数中的应用教学
目标1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次
3.理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
4.掌握求可导函数的极值的步骤
5.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
6.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学
重点/
难点重点：1、利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
2、极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
3、利用导数求函数的最大值和最小值的方法
难点：4、对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
5、函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系课后
作业
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1.3导数在研究函数中的应用
复习引入
1．常见函数的导数公式：
；；；．
2．法则1．
法则2,．
法则3．
3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x)．
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5．对数函数的导数：．
6．指数函数的导数：；
知识典例
知识点一函数的单调性与导数
1、一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.
2、利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求出函数的导数；
(3)解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．
【例1】确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数

【例2】用两种方法证明证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数

【例3】当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x

【例4】已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间

知识点二函数的极值与导数
1、一般地，求函数的极值的方法是：
解方程.当时：
(1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
(2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.

2、可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？
举个例子：，＝0，但x=0不是极值点.
y=｜x｜，在x＝0处取到极小值，但不存在.
也就是说若存在，＝0是f(x)在处取到极值的必要条件，但不是充分条件.
通常，若＝0，则叫作函数f(x)的驻点
3、判别可导函数f(x)极大、极小值的方法
（１）求导数f′(x)；
（２）求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；
（３）检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个驻点处取得极大值；如果在驻点左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个驻点处取得极小值
4、几点注意：
（１）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（２）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（３）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值.
（４）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
【例1】求函数＝的驻点和极值点

【例2】求函数的极大值和极小值.

【例3】函数f(x)的定义域为开区间（a,b），导函数f’(x)在（a,b）内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间（a,b）内有个零点

【例4】“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1，
(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值．
(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．

知识点三函数的最大（小）