二阶线性偏微分方程的分类与总结.docx

第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结

§1二阶方程的分类
证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为

经可逆变换
化为
其中
所以

因，故与同号，即类型不变。
判定下述方程的类型
（1）
（2）
（3）
（4）
(5)
解：(1)
因当时或时。即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。
（2）
因，在直线上，为抛物型，其余处，为椭圆型。
（3）
因在坐标轴上，为抛物型；在一，三象限中，，为椭圆型；在二，四象限中，，为双曲型。
（4）
因在坐标轴上，为双曲型；在一，三象限内，为抛物型；在二，四象限内，为双曲型。
（5）
因对应二次型为

相应对称矩阵为

其特征方程为

记
经计算得：

说明的三个特征值分别在区间中，故方程为双曲型的。
化下列方程为标准形式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）
因，方程为椭圆型。
特征方程为

解之得
因此引变换
有

代入化简即得：

因,方程为抛物型.
特征方程为
解之得
因此引变换
有

代入化简即得
(3)
因
当y<0为双曲型.特征方程为
解之得
因此引变换
有

代入化简得

当y=0为抛物线型,已是标准形式.
当y>0为椭圆形.特征方程为,
解之得
因此引变换
有

代入化简得

(4)
因为双曲型.特征方程为

解之得

因此引变换
有

代入化简得

(5)
因为椭圆形。特征方程为

即
解之得
因此引变换

有

代入化简得

4.证明两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量的变换及函数变换将它化成的形式.
证:已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型

其中a,b,c当原方程为常系数时为常数.
再令)
有

代入方程得

因不等于零,且取,消去得

记,即得所求.

§2二阶方程的特征理论
求下列方程的特征方程和特征方向

解：
特征方程
又
所以
引实参数得特征方向为

特征方程
又
所以

即任一点特征方向与轴交角为。

特征方程
又
所以
引实参数得特征方向为

2、证明经过可逆的坐标变换，原方程的特征曲面变为经变换后的新方程的特征曲面，即特殊性征曲面关于可逆坐标变换具有不变性。
证：讨论的是二阶线性方程

它的特征曲面的法矢量满足

对任一可逆的坐标变换：

将求导式

代入原方程，得关于的方程：

交换求和次序，简写二次求导以下的项，得

设它的特征曲面为则其法向满足：

另一方面对原方程的特征曲面经同样变换得特征曲面为：

从
代入所满足的方程得

由（1），（2）知
即经可逆坐标变换后特征曲面不变。
证二阶偏微分方程解的阶弱间断（即直至阶导数为连续，阶导数间断）也只可能沿着特征发生。
证：二阶线性偏微分方程阶弱间断解沿发生这个问题与下面的提法相当:如果在上给定了函数及其所有直到阶导数的值(应不相矛盾),能不能利用这些值以及方程:

来唯一确定的阶偏导数在上的数值。易见,如果能够唯一地确定的阶导数之值，则就不能为阶弱间断面。
现用反正法。设阶偏导数间断在上发生，为非特征曲面,即

引入新变量代替,即

且使,而当时得

恰为曲面的参数表示.。
这时有

代入原方程得关于的方程

或

其中省略的项仅含有的一阶偏导数,二阶内导数以及的只含有一次外导数的项。
在上,因,由假定

由此得
在此式两边对求阶导数得

其中右边省略号仅含有的直到阶的偏导数,以及的直到阶但上导数最多到阶的偏导数.因此右边的项在上为已知,从而由此等式知的阶偏导数也唯一确定,与假定矛盾,即得所证。
试定义阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。
解：个自变量的阶线性偏微分方程一般形式为

以上仅写出最高阶偏导数的项。设有空间曲面成为（1）的某个弱间断解的某个间断面，我们就定义此曲面为（1）的特征曲面，其法线方向为特征方向，该曲面所满足的方程（条件）为特征方程。
下面来推导特征曲面满足的条件。与二阶类似，弱间断解与以下问题相当：在上给定及其阶偏导数的值。能不能利用这些值以及方程（1）来唯一决定的阶偏导数的值。
为此引入新变量使，使，而当时

为曲面的参数式。设此变换为

则有
一般地
其中省略号中仅含有低于对的n阶偏导数的项。代入（1）式得u关于的方程

由此知当在G上

=
时，u对的n阶外导数唯一确定，因此不可能产生间断。因此弱间断面必须满足

此既G应满足的条件。满足此条件的曲面G叫做特征曲面，其法线方向叫做
特征方向，记

代入上式，得特征应满足的条件：

叫做特征方程。

§3三类方程的比较
1．试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的诸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。
解：1.