（新课标）高考数学大一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理-人教版高三全册数学试题.doc

课时作业40基本不等式

一、选择题
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()
A．a＋b≥2eq\r(ab) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))
C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：因为ab>0，即eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝2.
答案：C
2．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()
A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b
C．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b
解析：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<eq\r(ab)＝eq\r(2)<eq\f(a＋b,2)＝1.5<b＝2.
我们知道算术平均数eq\f(a＋b,2)与几何平均数eq\r(ab)的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．选B.
答案：B
3．设a>0，b>0.若a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()
A．2 B.eq\f(1,4)
C．4 D．8
解析：由题意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)时，取等号，所以最小值为4.
答案：C
4．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，则m＋n的最小值是()
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4.
答案：B
5．已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5，由x>－1，得x＋1>0，eq\f(9,x＋1)>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5≥2eq\r(x＋1×\f(9,x＋1))－5＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
6．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是()
A．9 B．8
C．4 D．2
解析：由圆的一般方程x2＋y2－2y－5＝0知D＝0，E＝－2，所以，圆心的坐标为(0,1)．又因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过该圆心，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1，所以，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(4b＋c,b)＋eq\f(b＋c,c)＝4＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)＋1＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9.
答案：A
二、填空题
7．若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．
解析：(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2eq\r(2ab)＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．
答案：9
8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2.当且仅当m＝n＝eq\r(2)时取等号．
答案：2
9．已知不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,n)－m))·lneq\f(m,n)≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当eq\f(m