数值计算数值分析试题及答案.docx

武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A卷）
课程名称数值计算专业年级全校2012级
备注:半开卷（可带一页手写A4纸，左上角写姓名，不得带复印件）,不得在试题纸上答题
一.简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）
1.将和作为的近似值，它们各有几位有效数字，
绝对误差和相对误差分别是多少？
2.已知，求，.
3.确定求积公式中的待定系数，使其
代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。
4.求矩阵的谱半径。
5.设计算A的条件数.
二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）
1.求满足条件的插值多项式.
2.已知，求的Lagrange插值多项式。
3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合
01231245
4.用Jacobi迭代法求解方程组，取初值，
计算迭代二次的值；（2分）
问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分）
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？
（提示：）（5分）
问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分）
5.用欧拉法求解初值问题在上的数值解，取，
计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）
三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）
1.设，其中为非奇异矩阵，证明
2.证明向量的范数满足不等式
四.证明（10分）
对于给定的正数,应用牛顿法于方程，写出牛顿迭代格式；
证明当初值满足时，该迭代法收敛。

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸
课程名称：数值计算（A）任课教师：
一.简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）
1.将和作为的近似值，它们各有几位有效数字，
绝对误差和相对误差分别是多少？
3分）
2分）
2.已知，求，.
(5分）
3.确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令使积分公式对尽可能大的正整数准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即。
由数值积分准确成立得：
由数值积分准确成立得：
由数值积分准确成立得：
解得(3分）
此时，取积分准确值为而数值积分为所以该求积公式的最高代数精度为次。(2分）

4.求矩阵的谱半径。
解
矩阵A的特征值为
所以谱半径(5分）
5.设计算A的条件数.
解：
矩阵A的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则
(2分）(3分）

二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）
1.求作满足条件的插值多项式.
解：根据三次Hermite插值多项式：
(5分）
并依条件，得
(5分）
2.已知，求的Lagrange插值多项式。
解：注意到：
3.3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合
01231245解:
(5分）

，(5分）
4.用Jacobi迭代法求解方程组，取初值，计算迭代二次的值；（2分）
问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分）
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？（提示：）（5分）
问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分）
解：先将方程组化成便于迭代的形式，以分别除以三个方程两边得
，迭代矩阵
由于或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛、且Gauss-Seidel迭代法收敛。
由得公式及
可得
所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于

5.用欧拉法解初值问题在上的数值解，取，计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）
解：欧拉法的公式为
，（4分）
已知，

（6分）
三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）
1.设，其中为非奇异矩阵，证明
证明：

（5分）
2.证明向量的范数满足不等式
证明：设是向量的分量，则，
所以由向量范数的概念可知，结论成立.（5分）

四.证明（10分）
对于给定的正数,应用牛顿法于方程，写出牛顿迭代格式；
证明当初值满足时，该迭代法收敛。
证：因为，故牛顿迭代格式为
（5分）

下证明其收敛性。
记第步的误差为和构造，，
则有三者之间的关系为
；
而
（+）
（+）式是一个递推关系，重复使用它，得
（*）
若，那么，
也即有（#）
从而有即。
又因为，所以，
也就是牛顿法产生的序列收敛于。（5分）