数值分析计算实习题.docx

插值法
下列数据点的插值
x01491625364964
y012345678
可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图.
(1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x).
(2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x).
从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？
解：(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下
symsxl;
x1=[01491625364964];
y1=[012345678];
n=length(x1);
Ls=sym(0);
fori=1:n
l=sym(y1(i));
fork=1:i-1
l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));
end
fork=i+1:n
l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));
end
Ls=Ls+l;
end
Ls=simplify(Ls)%为所求插值多项式Ls(x).
输出结果为
Ls=

-24221063/63504000*x^2+95549/72072*x-1/3048192000*x^8-2168879/435456000*x^4+19/283046400*x^7+657859/10886400*x^3+33983/152409600*x^5-13003/2395008000*x^6
(2)三次样条插值，程序如下
x1=[01491625364964];
y1=[012345678];
x2=[0:1:64];
y3=spline(x1,y1,x2);
p=polyfit(x2,y3,3);%得到三次样条拟合函数
S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3%得到S(x)
输出结果为：
S=

(3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图，
plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y')
蓝色曲线为y=√x函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线

可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。
在[0,1]区间上由上图看不出差别，不妨代入几组数据进行比较，取x4=[0:0.2:1]
x4=[0:0.2:1];
sqrt(x4)%准确值
subs(Ls,'x',x4)%拉格朗日插值
spline(x1,y1,x4)%三次样条插值
运行结果为
ans=
00.44720.63250.77460.89441.0000
ans=
00.25040.47300.67060.84551.0000
ans=
00.24290.46300.66170.84031.0000
从这几组数值上可以看出在[0,1]区间上，拉格朗日插值更精确。

数据拟合和最佳平方逼近
有实验给出数据表
x0.00.10.20.30.50.81.0
y1.00.410.500.610.912.022.46
试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
解：(1)三次拟合，程序如下
symx;
x0=[0.00.10.20.30.50.81.0];
y0=[1.00.410.500.610.912.022.46];
cc=polyfit(x0,y0,3);
S3=cc(1)+cc(2)*x+cc(3)*x^2+cc(4)*x^3%三次拟合多项式
xx=x0(1):0.1:x0(length(x0));
yy=polyval(cc,xx);
plot(xx,yy,'--');
holdon;
plot(x0,y0,'x');
xlabel('x');
ylabel('y');
运行结果
S3=

图像如下

(2)4次多项式拟合
symx;
x0=[0.00.10.20.30.50.81.0];
y0=[1.00.410.500.610.912.022.46];
cc=polyfit(x0,y0,4);
S3=cc(1)+cc(2)*x+cc(3)*x^2+cc(4)*x^3+cc(5)*x^4
xx=x0(1):0.1:x0(length(x0));
yy=polyval(cc,xx);
plot(xx,yy,'r');
holdon;
plot(x0,y0,'x');
xlabel('x');
ylabel('y');
运行结果
S3=

图像如下

(3)另一个拟合曲线,
新建一个M-file
程序如下：
function[C,L]=lagran(x,y)
w=length(x);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
fork=1:n+1
V=1;
forj=1:n+1
ifk~=j
V=conv(V,poly(x(j))