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第一讲函数、极限、连续
一、极限
（一）极限基本概念
1、极限的定义
（1）数列极限：设SKIPIF1<0为一个数列，SKIPIF1<0为常数，若对任意SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的极限，记SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设SKIPIF1<0为一个函数，SKIPIF1<0为一个常数，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时以SKIPIF1<0为极限，记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设SKIPIF1<0为一个函数，SKIPIF1<0为一个常数，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时以SKIPIF1<0为极限，记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
（4）左右极限：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的左右极限，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0都存在且相等。
（1）若对任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是否以常数SKIPIF1<0为极限？
（2）若数列SKIPIF1<0有一个子列以常数SKIPIF1<0为极限，数列SKIPIF1<0是否以常数SKIPIF1<0为极限？
（3）若数列SKIPIF1<0的奇子列与偶子列都存在极限，数列SKIPIF1<0是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列SKIPIF1<0的极限是否存在？
2、无穷小
（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的性质
1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；
2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；
3）极限与无穷小的关系：
（3）无穷小的层次关系
1）定义：
2）性质：
设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0的充分必要条件是SKIPIF1<0。
（4）当SKIPIF1<0时常见的等价无穷小：
1）SKIPIF1<0；
2）SKIPIF1<0；
3）SKIPIF1<0。
（5）无穷大
1）定义：
2）无穷大与无穷小的关系。
问题：
（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？
（2）设SKIPIF1<0都是无穷小，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？
（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。
（二）极限的性质
1、极限的基本性质
（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。
（2）有界性
1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。
2）函数极限的局部有界性：
（3）保号性
1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；
2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。
（4）列与子列极限极限的关系：
2、极限的存在性定理与重要极限
定理1单调有界的数列必有极限。
定理2夹逼定理（数列及函数）：
重要极限：
（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。
3、极限运算性质
（1）四则运算性质
（2）复合函数极限运算性质
注解：
问题：
（1）若SKIPIF1<0有界，SKIPIF1<0是否一定存在？
（2）若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，是否一定有SKIPIF1<0？举例说明。
（3）若SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是否存在？若SKIPIF1<0及SKIPIF1<0存在，是否一定有SKIPIF1<0存在？
（4）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？举例说明。
二、连