2010文都考研数学春季高分规划班辅导讲义.pdf

高等数学部分
第一讲函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念
1、极限的定义

（1）数列极限：设{an}为一个数列，A为常数，若对任意0，总存在N()0，当

nN()时，有|anA|成立，则称A为数列的极限，记limanA或
n

anA(n)。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

0，存在X0，当|x|X时，有|f(x)A|成立，称f(x)当x时以A为

极限，记为limf(x)A或f(x)A(x)。
x

（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

，存在0，当0|xa|时，有|f(x)A|成立，称当xa时以

A为极限，记为limf(x)A或f(x)A(xa)。
xa

defdef
（4）左右极限：f(a0)limf(x)，f(a0)limf(x)，分别称f(a0),f(a0)
xa0xa0
为函数f(x)在xa处的左右极限，limf(x)存在都存在且相等。
xa

问题：

（1）若对任意的，总存在N0，当nN时，有|anA|2，数列{an}是否

以常数A为极限？

（2）若数列{an}有一个子列以常数A为极限，数列是否以常数A为极限？

（3）若数列的奇子列与偶子列都存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶

子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？

1

2、无穷小
（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的性质
1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；
2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；
3）极限与无穷小的关系：
（3）无穷小的层次关系
1）定义：
2）性质：

设~,~，且lim存在，则limlim；

~的充分必要条件是o()。

（4）当x0时常见的等价无穷小：

1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex1~ln(1x)；

x2a
2）1cosx~,1cosax~x2；
22

3）(1x)a1~ax。

（5）无穷大
1）定义：
2）无穷大与无穷小的关系。
问题：
（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设,,都是无穷小，且o(),o()，是否一定有~？

（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。
（二）极限的性质
1、极限的基本性质
（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。
（2）有界性
1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。
2）函数极限的局部有界性：
（3）保号性
1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；
2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。
（4）列与子列极限极限的关系：

2

2、极限的存在性定理与重要极限
定理1单调有界的数列必有极限。
定理2夹逼定理（数列及函数）：
重要极限：

sinx1ax1
（1）lim1；（2）lim(1)e；（3）limlna。
x0x0x0x
3、极限运算性质
（1）四则运算性质
（2）复合函数极限运算性质

注解：

问题：

（1）若有界，liman是否一定存在？
n

（2）若limanA，当mn时，是否一定有|amA||anA|？举例说明。
n

（3）若lim[f(x)g(x)]存在，limf(x)及limg(x)是否存在？若lim[f(x)g(x)]及

limg(x)存在，是否一定有limf(x)存在？

（4）若f(x)0(0)，且limf(x)A，是否一定有A0(0)？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念
1、函数连续的定义
（1）函数在一点连续的定义及等价定义
（2）函数在闭区间上连续的定义
2、间断及其间断点的分类
（1）第一类间断点：
（2）第二类间断点。
（二）闭区间上连续函数的性质
1、最值定理
{a}
2、有界定理n
3、零点定理
4、介值定理
（1）最值型介值定理：
（2）端点型介值定理：

3

注解：
（1）初等函数在其定义域内连续；
（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。
问题：
f(x)
（1）设f(x),g(x)都在xa处间断，则f(x)g(x),f(x)g(x),,f2(x)是否一定
g(x)

在xa处间断？
（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分