2010文都考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免.doc

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2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤
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高等数学部分
第一讲函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念
1、极限的定义
（1）数列极限：设为一个数列，为常数，若对任意，总存在，当时，有成立，则称为数列的极限，记或。
（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。
（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。
（4）左右极限：，，分别称为函数在处的左右极限，存在都存在且相等。
问题：
（1）若对任意的，总存在，当时，有，数列是否以常数为极限？
（2）若数列有一个子列以常数为极限，数列是否以常数为极限？
（3）若数列的奇子列与偶子列都存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？
2、无穷小
（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的性质
1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；
2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；
3）极限与无穷小的关系：
（3）无穷小的层次关系
1）定义：
2）性质：
设，且存在，则；
的充分必要条件是。
（4）当时常见的等价无穷小：
1）；
2）；
3）。
（5）无穷大
1）定义：
2）无穷大与无穷小的关系。
问题：
（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？
（2）设都是无穷小，且，是否一定有？
（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。
（二）极限的性质
1、极限的基本性质
（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。
（2）有界性
1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。
2）函数极限的局部有界性：
（3）保号性
1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；
2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。
（4）列与子列极限极限的关系：
2、极限的存在性定理与重要极限
定理1单调有界的数列必有极限。
定理2夹逼定理（数列及函数）：
重要极限：
（1）；（2）；（3）。
3、极限运算性质
（1）四则运算性质
（2）复合函数极限运算性质
注解：
问题：
（1）若有界，是否一定存在？
（2）若，当时，是否一定有？举例说明。
（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？
（4）若，且，是否一定有？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念
1、函数连续的定义
（1）函数在一点连续的定义及等价定义
（2）函数在闭区间上连续的定义
2、间断及其间断点的分类
（1）第一类间断点：
（2）第二类间断点。
（二）闭区间上连续函数的性质
1、最值定理
2、有界定理
3、零点定理
4、介值定理
（1）最值型介值定理：
（2）端点型介值定理：
注解：
（1）初等函数在其定义域内连续；
（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。
问题：
（1）设都在处间断，则是否一定在处间断？
（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

一、填空题
1、。
2、设，则。
3、。
4、设，则。
5、设，则。
6、。
7、。
8、。
9、设在点处连续，则。

二、解答题
1、判别函数的奇偶性，并求其反函数。
2、求下列极限：
（1）。（2）。
（3）。（4）。
（5）。（6）。
（7）。（8）。
（9）；（10）。
（11）；（12）。
3、证明数列极限存在，并求其极限。
4、设，证明数列收敛，并求。
5、设为常数，。且，证明：。
6、求极限。
7、设，，且，证明：存在，使得。

第二讲导数与微分

一、导数的基本概念

设在的邻域内有定义，，若存在，则称函数在点可导，极限称为函数在处的导数，记为。
注解：
（1）若存在，称此极限为函数在处的右导数，记为，若存在，称此极限为函数在处的左导数，记为，函数在处可导的充分必要条件是与都存在且相等。
（2）导数的等价定义
，。
注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。
问题：
（1）设存在，问是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。
（2）设存在，问是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。
（3）设存在，是否存在？说明理由。
（4）设存在，是否存在？说明理由。
（5）设在处可导，问是否在处连续？
（6）在处可导，是否有在的邻域内连续？
（7）是否存在只有一个可导点的函数？

二、求导工具

（一）求导基本公式
1、（常数函数导数公式）；