姚老师最爱的两招表格法与微分算子法.docx

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！
分部积分的表格法
分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式：
定理：设有阶连续导数，则
。（此定理及证明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！）
【证：用数学归纳法。
当时，。
设时，
（*）
则当时，，
将上式的（*）式中的，则有
，
从而，得证。】
上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。
的各阶导数的各阶原函数下面通过例子给予演示：
（1）“幂三”型
例1.1
解：
120x1200所以原式=

（2）“幂指”型
例1.2
解：
240所以原式=
=
（3）“反幂”型（尤其是反三角函数次数高于1时）
例1.3
解：令，则，
所以原式=
20从而原式=
。
（4）“对幂”型（尤其是对数函数次数高于1时）
例1.4
解：令，则，，
故原式=（这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！）
=。
（5）“三指”型（此为循环模式，想想与前面的有何不同？）
例1.5
解：

所以有，
求解得。
求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的微分算子法
n阶常系数非齐次线性微分方程为：
（**）
求解非齐次方程（**）的特解常有三种方法：待定系数法、常数变易法和微分算子法。常数变易法在教材中一阶非齐次线性微分方程中已有介绍，待定系数法在二阶非齐次微分方程中着重讲解，因此，在此，主要讲微分算子法。
首先引进记号：，
于是，
（**）式变为。
记，
于是，从而得特解。
下面关键是要弄清楚这个算子是如何进行作用的呢？
通常为幂、三、指、幂三、幂指、三指和幂三指几种类型，下面分别讨论（主要采用书上的例子）。
（1）幂：为多项式函数，采用多项式除法进行计算，什么是多项式除法呢？
例2.1
解：原方程的一个特解为。

（后面可以继续写下去，但是想想，函数，还有必要吗？）
从而。
（2）指：，当不是特征方程的根时，将直接代入分母的D；当是特征方程的单根时，将分子乘以一个，分母对D求导数，然后将代入分母；当是特征方程的二重根时，将分子乘以一个，分母对D求两阶导数，然后将代入分母。
例
解：（因为不是特征方程的根。）
例
解：（因为是特征方程的单根。）
例
解：（因为是特征方程的二重根。）
（3）三：为正弦函数或余弦函数时，由于欧拉公式连接了正、余弦函数，所以正、余弦函数可以转化为指数函数来求解，一般采用定理3.5进行求解。
例2.3
解：（实部）
所以先求解方程，
此时，
故原方程的一个特解。
（4）幂三、幂指、三指或幂三指，基本原则：三角函数看成复数域内指数函数的实部或虚部，从而转化成幂指类型，将指数函数提前，后面的算子中D换成。
例（幂指）
解：（注：表示两次不定积分）

由于取的是一个特解，所以可以随便取，不妨取为0吧，从而得一个特解
。
例（三指）
解：，
所以先求解，
解得

所以原方程的一个特解为。
例（幂三）
解：，所以先求解，
解得(这里用了多项式除法)

所以原方程的一个特解为。
例（幂三指）
解：，
所以先求解，
解得
（注：表示求不定积分，且用到了多项式除法哦！）

所以原方程的一个特解为。