微分算子法实用整理总结.docx

微分算子法
微分算子法分类小结
n阶微分方程
1、二阶微分方程：+p(x)+q(x)y=f(x)
2、n阶微分方程：y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+...+any=f(x)
微分算子法
1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x求导n次；表示积分，如x=2,x表示对x积分n次，不要常数。
2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+...+an-1Dy+any=f(x)
即（Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+...+an-1D+an）y=f(x)
记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+...+an-1D+an
规定特解：y*=
3、的性质
(1)性质一：ekx=ekx(F(k)不等于0）
注：若k为特征方程的m重根时，有
ekx=xmekx=xmekx
(2)性质二：ekxv(x)=ekxv(x)

(3)性质三：特解形如sin(ax)和cos(ax)
i.考察该式（该种形式万能解法）：eiax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部作为原方程的特解
注：欧拉公式eiax=cos(ax)+isin(ax)
虚数i2=-1
ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也可按以下方法考虑：
若F(-a2)0，则
sin(ax)=sin(ax)
cos(ax)=cos(ax)
若F(-a2)=0，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2)的m重根，则
sin(ax)=xmsin(ax)
cos(ax)=xmcos(ax)

(4)性质四（多项式）：
（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
=Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p。

性质五（分解因式）:
==
性质六:
=

三、例题练习
例1.+4y=ex
则(D2+4)y=ex,特解y*=ex=ex=ex(性质一)
例2、y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y=2cos(3x）
特解y*=2cos(3x）=2cos(3x）
=2cos(3x）=cos(3x）(性质三)
例3、-4+4y=x2e2x,则(D2-4D+4)y=x2e2x
特解y*=x2e2x=e2xx2
=e2xx2=x4e2x（性质二）
例4、-3+3-y=ex,则(D3-3D2+3D-1)y=ex
特解y*=ex=ex1
=ex1=x3ex(性质二）
例5、-y=sinx,则(D3-1)y=sinx,特解y*=sinx
考察eix
eix=eix=eix=eix
=(cosx+isinx)
=-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx)
取虚部为特解y*=(cosx-sinx)(性质一、三)

例6、+y=cosx，则(D2+1)y=cosx，特解y*=cosx
考察eix
eix=eix=eix
=eix=eix1
=-xeix=xsinx-ixcosx
取实部为特解y*=xsinx(性质一、二、三）
例7、-y=ex，则(D4-1)y=ex
特解y*=ex=ex
=ex
=ex=ex
=ex1=xex（性质一、二、五）
例8、+y=x2-x+2,则(D2+1)y=x2-x+2
特解y*=(x2-x+2)
=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x(性质四)

例9、+2+2y=x2e-x,则(D2+2D+2)y=x2e-x
特解y*=x2e-x=e-xx2
=e-xx2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2)
（性质二、四）
例10、+y=xcosx，则(D2+1)y=xcosx，
特解y*=xcosx，考察xeix
xeix=xeix=eixx
=eixx=eixx
=eixx=eixx
=(cosx+isinx)x
=(xcosx+x2sinx)+i(xsinx-x2cosx)
取实部为特解y*=(xcosx+x2sinx)(性质二、三、四）