微分算子法.doc

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微分算子法（部分）
夏琪06土木一班
微分算子法，算的是特解。

Dy=f(x)推出y=1Df(x)，理解1D是积分的意思，这个等式的意思就是y=将f(x)积分一次
那么D2y=f(x)，则y=1D2f(x)，则y=f(x)积分两次。
以此类推。。。

f(x)=emx类型，m是常数
例题
y''-6y'+10y=e3x，求y*
解：yD2-6D+10=e3x
y*=1D2-6D+10e3x
这种情况下，m=D
y*=19-6*3+10e3x
y*=e3x
解完。。

例题y''-6y'+9y=e3x，求y*
y*=1D2-6D+9e3x
y*=1(D-3)2e3x
这里是将e3x前移，D应该加上m
y*=e3x1(D-3+3)2*1
y*=e3x1D2*1
y*=12x2e3x
完毕。。
作业：2y''+y'-y=2e-x，求y*

f(x)=Pm(x)型
例题：2y''+5y'+y=x2-2x+3，求y*
解：y*=12D2+5D+1*（x2-2x+3）
其中12D2+5D+1=1-5D+23D2
y*=(1-5D+23D2)*（x2-2x+3）
D是求导一次，D2是求导两次
y*=x2-2x+3-52x-2+23

f(x)=emxPm(x)型
例题y''-6y'+9y=e3x（x+1），求y*
y*=1D2-6D+9e3x（x+1）
y*=1D-32e3x（x+1）
这里是将e3x前移，D应该加上m
y*=e3x1(D-3+3)2*(x+1)
y*=e3x1D2*(x+1）
y*=e3x（16x3+12x2）
要点是将emx提到前面
作业：y''+2y'+2y=x2e-x，求y*答案y*=e-x（x2-2）
y''+4y=xex，求y*答案y*=ex（15x-225）

f(x)=sinαx或cosαx
例题y''+9y=5sinx，求y*
y*=1D2+95sinx这里-α2=D2
y*=1-1+95sinx
=58sinx

例题y''-2y'+5y=sin2x，求y*
y*=1D2-2D+5sin2x
y*=1-4-2D+5sin2x
y*=11-2Dsin2x
y*=1+2D1-4D2sin2x
y*=1+2D17sin2x
y*=117(sin2x+4cos2x)

习题：y'''-2y''+y'+2y=cos2x，求y*
答案：1136（10cos2x-6sin2x）

5f(x)=emxsinαx或emxcosαx
例题y''-2y'+5y=exsin3x，求y*
一样的道理，先把ex提前
答案-15exsin3x

还有几种类型涉及到欧拉公式，暂不提，以上类型考研基本上可以应付。。