高考数学一轮总复习 第57讲 空间向量的概念与运算考点集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

考点集训(五十七)第57讲空间向量的概念与运算

1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
A．－4B．－2C．4D．2
2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是
A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}
3．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是
A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)
4．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②

5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为
A．0B.eq\f(1,2)
C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)

6．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且eq\o(MG,\s\up6(→))＝2eq\o(GN,\s\up6(→))，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x，y，z的值分别为____________．
7．如图(2)是四棱锥P－ABCD(如图(1))的三视图，E是AD的中点，F在PC上．

(1)求F在何处时，EF⊥平面PBC；
(2)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．

8．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2，且AA1与AB，AD的夹角都为120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)若K为BC1的中点，求AK的长；
(3)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值；
(4)证明：AA1⊥BD.

题号答案12
第57讲空间向量的概念与运算
【考点集训】
1．D2.C3.B4.D5.A
6.eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)
7．【解析】由三视图可知PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝eq\r(2)，底面ABCD是矩形，AD＝2.

(1)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(0，eq\r(2)，0)，C(2，eq\r(2)，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0)，
P(0，0，eq\r(2))．
又F为PC上的点，设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FC,\s\up6(→))，
则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2λ,1＋λ)，\f(\r(2)λ,1＋λ)，\f(\r(2),1＋λ)))，
∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋λ,1＋λ)，\f(\r(2)λ,1＋λ)，\f(\r(2),1＋λ)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，0，0)．
当EF⊥平面PBC时有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0,\o(EF,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))＝0))，
得eq\f(2（－1＋λ）,1＋λ)＝0，得λ＝1，
即F为BC的中点时，
满足EF⊥平面PBC，且Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
(2)由(1)知eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
又eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，eq\r(2)，－eq\r(2))，
∴eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BF,