含参变量的无限积分.docx

三、含参变量的无穷积分
设二元函数SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0有定义，SKIPIF1<0，无穷积分SKIPIF1<0都收敛，即SKIPIF1<0都对应唯一一个无穷积分（值）SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的函数，表为
SKIPIF1<0，
称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，SKIPIF1<0是参变量．
已知无穷积分SKIPIF1<0与数值级数SKIPIF1<0的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分SKIPIF1<0与函数级数SKIPIF1<0之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．
SKIPIF1<0，无穷积分SKIPIF1<0都收敛，即SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0，
即SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0．（4）
一般来说，相等的SKIPIF1<0之下，不同的SKIPIF1<0也不同。是否存在一个通用的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，于是，有下面的一致收敛概念：
定义若SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0，
则称无穷积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛；若无穷积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0不存在通用的SKIPIF1<0，就称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0非一致收敛．
现将一致收敛与非一致收敛对比如下：
一致收敛：SKIPIF1<0有SKIPIF1<0；
非一致收敛：SKIPIF1<0有SKIPIF1<0．
例5证明：积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛，在SKIPIF1<0上非一致收敛．
证：设SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0．
SKIPIF1<0，要使不等式SKIPIF1<0成立，只要SKIPIF1<0。取SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0，
即积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛．
另外，由于存在SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0，
即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0非一致收敛．
定理5（柯西一致收敛准则）SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0．
证：“SKIPIF1<0”由一致收敛的定义，SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0，
从而，SKIPIF1<0，分别有
SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，
于是，
SKIPIF1<0SKIPIF1<0．
“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0，
令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛．
定理6若SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0，（5）
且无穷积分SKIPIF1<0收敛，则无穷积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛．
证：已知SKIPIF1<0收敛，根据§12.1定理2（无穷积分的柯西收敛准则），即SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0，
由不等式（5），SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0，
由定理5知，无穷积分SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0一致收敛．
定理6中的函数SKIPIF1<0称为优函数，定理6亦称为优函数判别法或SKIPIF1<0判别法（魏尔斯特拉斯SKIPIF1<0判别法）．
例6证明：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0一致收敛．
证：SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0收敛，由SKIPIF1<0判别法知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0一致收敛．
定理7（狄利克雷判别法）若SKIPIF1<0