反常积分与含参变量的积分.docx

第十二章反常积分与含参变量的积分
§12.1.无穷积分
一、无穷积分收敛和发散概念
实例：设地球的质量为M，地球的半径为R.若火箭距离地心为SKIPIF1<0，则将质量为m的火箭，从地面发射到距离地心为b处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力SKIPIF1<0所作的功
SKIPIF1<0
为了使火箭脱离地球的引力范围，即SKIPIF1<0，火箭克服地球引力F所作的功
SKIPIF1<0

定义设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0有定义，符号
SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）
称为函数SKIPIF1<0的无穷积分.
设SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在［a,p］可积，若极限
SKIPIF1<0
存在（不存在），则称无穷积分SKIPIF1<0收敛（发散），其极限称为无穷积分SKIPIF1<0（的值），即
SKIPIF1<0.
设SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在［q,b］可积，若极限
SKIPIF1<0
存在（不存在），则称无穷积分SKIPIF1<0收敛（发散），其极限称为无穷积分SKIPIF1<0（的值），即
SKIPIF1<0.
若SKIPIF1<0，两个无穷积分
SKIPIF1<0与SKIPIF1<0
都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分SKIPIF1<0收敛（发散），且
SKIPIF1<0.
显然，火箭脱离地球引力所作的功SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的无穷积分，即
SKIPIF1<0
例1.求下列无穷积分
SKIPIF1<0.
解：SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
例2.求下列无穷积分
SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.
解：SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.

若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0存在原函数SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0
其中符号SKIPIF1<0
例3.判别无穷积分SKIPIF1<0的敛散性SKIPIF1<0
解：当SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0
当SKIPIF1<0有
SKIPIF1<0
于是，当SKIPIF1<0时，无穷积分SKIPIF1<0收敛，无穷积分的值是SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，无穷积分SKIPIF1<0发散
例4.判别无穷积分SKIPIF1<0的敛散性.
解：当SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
当SKIPIF1<0，有
SKIPIF1<0SKIPIF1<0

二、无穷积分与级数
上述三种形式的无穷积分：
SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分SKIPIF1<0的敛散性即可.
观察下表：
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛收敛SKIPIF1<0发散发散无穷积分SKIPIF1<0与广义调和级数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0都收敛，对SKIPIF1<0都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.
定理1.无穷积分SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0对任意数列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，级数
SKIPIF1<0
收敛于同一个数，且
SKIPIF1<0.
证明：必要性已知无穷积分收敛，即
SKIPIF1<0.
充分性已知对任意数列SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0时，级数SKIPIF1<0收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分SKIPIF1<0收敛，且
.SKIPIF1<0
三、无穷积分的性质
假设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有定义，且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可积.由无穷积分定义，无穷积分SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0存在极限.
定理2（柯西