第十一讲 含参变量的无限积分.doc

三、含参变量的无穷积分
设二元函数在区域有定义，，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值），于是，是上的函数，表为
，
称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，是参变量．
已知无穷积分与数值级数的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分与函数级数之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．
，无穷积分都收敛，即，有
，
即，有
．（4）
一般来说，相等的之下，不同的也不同。是否存在一个通用的，，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在上存在，于是，有下面的一致收敛概念：
定义若有
，
则称无穷积分在区间一致收敛；若无穷积分在区间不存在通用的，就称在区间非一致收敛．
现将一致收敛与非一致收敛对比如下：
一致收敛：有；
非一致收敛：有．
例5证明：积分在区间一致收敛，在上非一致收敛．
证：设，则
．
，要使不等式成立，只要。取，于是，，，，有
，
即积分在区间一致收敛．
另外，由于存在，有
，
即在非一致收敛．
定理5（柯西一致收敛准则）在区间一致收敛
有
．
证：“”由一致收敛的定义，有
，
从而，，分别有
与，
于是，
．
“”有
，
令，有，即在区间一致收敛．
定理6若，有
，（5）
且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛．
证：已知收敛，根据§12.1定理2（无穷积分的柯西收敛准则），即有
，
由不等式（5），有
，
由定理5知，无穷积分在区间一致收敛．
定理6中的函数称为优函数，定理6亦称为优函数判别法或判别法（魏尔斯特拉斯判别法）．
例6证明：在一致收敛．
证：，有，已知收敛，由判别法知在一致收敛．
定理7（狄利克雷判别法）若满足下列条件：
（1）在上一致有界；
（2）是的单调函数，且当时，在上一致收敛于0．
则

在上一致收敛．
定理8（阿贝尔判别法）若满足下列条件：
（1）在上一致收敛；
（2）是的单调函数，关于一致有界．
则

在上一致收敛．
例7证明：在一致收敛．
证：设，则
（1）收敛，从而关于一致收敛；
（2）对，关于单调，且关于一致有界：
，
由阿贝尔判别法知：在一致收敛．
定理9若函数在连续，且无穷积分在一致收敛，则函数在连续．
证明：由一致收敛的定义，有
．

，
根据§12.3定理1，函数在连续，当然在任意一点也连续，即对上述同样的
，
于是，

，
即函数在连续．
定理10若函数在连续，且无穷积分在一致收敛，则函数在可积，且
，
即
，
简称积分号下可积分．
证：根据上面定理9，函数在连续，则函数在区间可积．由一致收敛的定义，有
．（6）
根据本节定理3，有
，
从而，，由不等式（6），有

，
于是，有

，
即
．
定理11若函数在区域连续，且无穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且
，
即
，
简称积分号下可微分．
证明：，讨论积分
．
根据上面定理10，有
＝
．
所以，
，
即
．
同样地，含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法，它所定义的函数也有相似的分析性质，这里从略．

四、例（Ⅱ）
例8证明：．
证：首先注意不是被积函数的瑕点．
．
已知，有，而收敛，根据本节定理6，在一致收敛，根据上面定理10，交换积分次序，有
．
例9求狄利克雷积分．
解：§12.1例11（P260）证明了无穷积分收敛（条件收敛）．
因为的原函数不是初等函数，所以不能直接求此积分，为此，在被积函数中引入一个“收敛因子”，讨论无穷积分
．（7）
显然，．无穷积分（7）的被积函数及其关于的偏导数

在连续（作连续开拓）．由例7知无穷积分

在一致收敛．下面证明，，无穷积分

在一致收敛．
事实上：，有．已知收敛，由本节定理6知，

在一致收敛。
由上面定理11，，有

，
从而，
．（8）
，（8）式成立。下面确定常数．有

，
即．由（8）式，得
，
即于是，
．（9）
下面证明在右连续．事实上，已知无穷积分（7）在区间一致收敛，根据上面定理9，在右连续．由（9）式，得
，
即，即．
例10求无穷积分．
解：时，；时，设，由例9，有
，
．
于是，有
，
从而，有
．
例11无穷积分称为拉普拉斯（）变换，它将函数变换成函数．例如，求
．
解：
．