高考数学 考点一遍过 专题39 直线与圆锥曲线的位置关系 文-人教版高三全册数学试题.doc

考点39直线与圆锥曲线的位置关系

1．理解数形结合的思想.
2．了解圆锥曲线的简单应用.

一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.
（2）直线与双曲线有两个交点相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点相离.
（3）直线与抛物线有两个交点相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2．中点弦问题
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率.

考向一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

典例1已知椭圆，直线:y＝x＋m．
(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；
(2)若与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

(2)设，由(1)知：，
则|PQ|==2.
解得：.
典例2已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为．
（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，
所以，，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.
若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；
若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，
当时，，满足题意，此时直线的方程为；当时，，解
得，此时直线的方程为.
综上，直线的方程为，或，或.

1．已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.
(1)若直线与双曲线没有公共点,求实数k的取值范围;
(2)若直线与双曲线有两个公共点,求实数k的取值范围;
(3)若直线与双曲线只有一个公共点,求实数k的取值范围.
考向二直线与圆锥曲线的弦长问题
直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.

典例3已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，
∵，即，
∴，即，∴，
∴，，
，
，
∴，
令，，则，当且仅当时等号成立．
故的最小值为.
典例4已知椭圆的离心率为,过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且.

(1)求椭圆的方程;
(2)设直线经过点且斜率为与椭圆相交于两点,与以椭圆的右顶点为圆心的圆相交于两点(自下至上排列),为坐标原点，,且,求直线和圆的方程.

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