【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 3.2 导数的应用高效作业 理 新人教A版.doc

【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习3.2导数的应用高效作业理新人教A版

时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________学号：________得分：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·鹰潭一中模拟)若a＞2，则函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()
A．0个零点 B．1个零点
C．2个零点 D．3个零点
解析：∵f′(x)＝x2－2ax，且a＞2，
∴当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，
即f(x)在(0,2)上是单调减函数．
又∵f(0)＝1＞0，f(2)＝eq\f(11,3)－4a＜0，
∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点，故选B.
答案：B
2．(2014·惠州二模)已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()
A．a≥0 B．a＜－4
C．a≥0或a≤－4 D．a＞0或a＜－4
解析：∵f′(x)＝2x＋2＋eq\f(a,x)，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x)，0＜x＜1，可知－4＜g(x)＜0，
∴a≥0或a≤－4，故选C.
答案：C
3．如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()

解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案：A
4．(2014·重庆模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：①当x<－2时，1－x>0.
∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．
②当－2<x<1时，1－x>0.∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．
③当1<x<2时，1－x<0.
∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0，
即f(x)在(1,2)上是减函数．
④当x>2时，1－x<0.∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．
答案：D
5．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()

A.eq\f(a,b) B.eq\f(a2,b)
C.eq\f(b,a) D.eq\f(b2,a)
解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y＝2πR2a＋2πRhb
＝2πaR2＋2πRb·eq\f(V,πR2)
＝2πaR2＋eq\f(2bV,R)，
∴y′＝4πaR－eq\f(2bV,R2).
令y′＝0，得eq\f(2R,h)＝eq\f(b,a).
答案：C
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax.由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3，由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)
7．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________．
解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2.
又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，
∴f(x)max＝3，