【与名师对话】2014年高考数学总复习 12-3 几何概型配套课时作业 理 新人教A版.doc

【与名师对话】2014年高考数学总复习12-3几何概型配套课时作业理新人教A版
一、选择题
1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ()
A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)
C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)
解析：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为eq\f(π,2)，因此取到的点到O的距离小于1的概率为eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4)，取到的点到O的距离大于1的概率为1－eq\f(π,4).
答案：B
2．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是 ()
A．1 B.eq\f(2,3)
C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)
解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10).
答案：C
3．(2012年湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
()

A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)
C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)
解析：设OA＝OB＝2R，连接AB，如图所示．由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S阴＝eq\f(1,4)π(2R)2－eq\f(1,2)×(2R)2＝(π－2)R2，S扇＝eq\f(1,4)π(2R)2＝πR2，故所求的概率是eq\f(π－2R2,πR2)＝1－eq\f(2,π).

答案：A
4．(2012年北京)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ()
A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)
C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)

解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A的是阴影部分区域μA，故由几何概型的概率公式得：

P(A)＝eq\f(22－\f(1,4)×π×22,22)＝eq\f(4－π,4).
答案：D

5．如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是
()

A.eq\f(4,π2)B.eq\f(4,π3)C.eq\f(2,π2)D.eq\f(2,π3)
解析：依题意得，区域M的面积等于2eq\a\vs4\al\co1(∫)eq\o\al(π,0)sinxdx＝－2cosxeq\a\vs4\al\co1(|)eq\o\al(π,0)＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是eq\f(4,π3)，选B.
答案：B
6．蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ()
A.eq\f(4,27) B.eq\f(1,9)
C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,27)
解析：本题考查几何概型概率的求解．蜜蜂“安全飞行”需要距正方体各表面距离均大于1，故其活动范围是在大正方体内的一个棱长为1的小正方体中，所以蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).
答案：D
二、填空题
7．在区间[0,3]上任取一个数x，使得不等式x2－3x＋2>0成立的概率为_____．
解析：x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1，由几何概型概率公式可得P＝eq\f(2,3).
答案：eq\f(2,3)
8．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为eq\f(3,16)，则a的值是________．

解析：由几何概型可知eq\f(S阴,S)＝eq\f(S阴,a×\f(8,a))＝eq\f(3,1