高考数学 考点46 几何概型试题解读与变式-人教版高三全册数学试题.doc

考点46几何概型
知识储备汇总与命题规律展望
知识储备汇总:
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
(3)几何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度角度,试验全部结果所构成的区域长度角度)
命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.
二、题型与相关高考题解读
1.与长度角度有关的几何概型
1.1考题展示与解读
例1【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）
（A）（B）（C）（D）
【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题.
【答案】B
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
【解题能力要求】应用意识，运算求解能力
【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．
1.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】若正方形边长为为四边上任意一点，则的长度大于的概率等于（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设分别为或靠近点的四等分点，则当在线段上时，的长度大于，所能取到点的长度为，正方形的周长为，的长度大于，的概率等于，故选D.
【变式2：改编结论】在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.
【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】B

与面积有关的几何概型
2.1考题展示与解读
例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B．C． D．
【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.
【答案】B
【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力
【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
2.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）

A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为，选D。
【变式2：改编结论】如图，在菱形中，，，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为，则圆周率的近似值为（）

A.B.C.D.
【答案】C
【变式3：改编问法】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）

A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为22mm，得半径r=11mm，则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是，故选B.
与体积有关的几何概型
3.1考题展示与解读
例3在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为()
A.B.C.D.
【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题.
【答案】A
【解析】符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得P==.
故选A.
【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力
【方法技巧归纳】求解与体积有