高考数学 考点10 导数的几何意义试题解读与变式-人教版高三全册数学试题.doc

考点十：导数的几何意义
【考纲要求】
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.
（3）根据导数的定义求基本函数的导数.
（4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数.
【命题规律】
导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点.
预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖．
【典型高考试题变式】
（一）求函数的导函数
例1.【2017浙江高考改编】已知函数，求的导函数.
【答案】（I）；

【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.
【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数，其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．
【答案】3
【解析】因为,所以.

【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数，则的最小值为___________________.
【答案】1

（二）导数的几何意义
例2.【2017天津卷（文）】已知，设函数的图像在点处的切线为，则在轴上的截距为.
【答案】1
【解析】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.
【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.
【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线存在两条斜率为的切线，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题得，则方程有两个解，令，且，则由图象可知，有且，即且，解得，故选B.
【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意得=,即,解得或.即切线倾斜角的范围为.故选B.
【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．
【答案】

【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.
【答案】
【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．
（三）在一点处的切线方程
例3.【2017全国1卷（文）】曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.
【答案】
【解析】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．
【答案】

【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数（，）.若曲线在点处的切线方程为，求，的值分别为________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，.
因为曲线在点处的切线方程为，所以得解得
（四）过一点的切线方程
例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线.
【答案】（Ⅰ）；
【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.
【方法技巧归纳】对于曲线上“过”点的切线问题，一般要先设切点，于是切线为，再根据切点在曲线上得，切点在切线上得.列方程组，可得切点的值.
【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】A

切线过点，则：，
解得：，切线的斜率，
综上可得：则直线斜率的取值范围为.

（五）两曲线的公切线
例5.【2016全国2卷（理）】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
【答案】
【解析】的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，所以，解得，，所以．

【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.
【变式1】【例题中曲线添