高考数学 考点27 几何体的体积试题解读与变式-人教版高三全册数学试题.doc

考点27几何体的体积
知识储备汇总与命题规律展望
知识储备汇总:
1.1多面体的体积公式
名称体积()棱
柱棱柱·=·直棱柱·棱
锥棱锥·正棱锥棱
台棱台(++)正棱台表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.
1.2旋转体的面积和体积公式
名称圆柱圆锥圆台球(即)表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，表示半径.
1.3求体积常见方法
①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
1.4以三视图为载体的几何体的体积问题
根据三视图，画出对应几何体的直观图，根据三视图确定几何体中点、线、面的位置关系及有关量的值，分析几何体的构成，根据几何体的构成特点，确定求体积的方法，求出几何体的体积.
命题规律展望：几何体的体积是高考考查的重点和热点，主要以三视图为载体考查简单几何体的体积或以球与多面体、旋转体切接为载体考查几何体或球体的体积，难度为容易、中档或难题，题型为选择、填空题，分值为5-10分.
二、题型与相关高考题解读
1.多面体的体积
1.1考题展示与解读
例1【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【命题意图探究】本题主要考查锥体体积的计算及利用导数求体积的最值，是难题.
【答案】
【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则.
，

三棱锥的体积.
令，则，
令，，，
.

【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力
【方法技巧归纳】对与几何体体积有关的综合问题，先根据题意设出量，根据几何体的性质求出几何体的体积，利用函数求最值的方法求出体积的最值.
1.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】在正方体中，为中点，为的中点，，则三棱锥的体积为__________．
【答案】

【变式2：改编结论】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的体积是，那么三棱柱的体积是（）

A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为R，等腰直角三角形的边长为R，设三棱柱的体积为，则，，故选B
【变式3：改编问法】将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）

A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
【答案】A

以三视图为背景的几何体体积问题
2.1考题展示与解读
例2【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
B．C．D．

【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积的计算，是基础题.
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积，该组合体的体积为：。故选B。
【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力
【方法技巧归纳】先根据三视图画出几何体的直观图，确定各量的值和几何体中点线面的位置关系，再运用相关公式计算几何体的体积.
2.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）

A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为，故选B.
【变式2：改编结论】如图是底面半