2014高考数学一轮总复习 6.4 数列求和教案 理 新人教A版.doc

6.4数列求和

典例精析
题型一错位相减法求和
【例1】求和：Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,a2)＋eq\f(3,a3)＋…＋eq\f(n,an).
【解析】(1)a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).
(2)a≠1时，因为a≠0，
Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,a2)＋eq\f(3,a3)＋…＋eq\f(n,an)，①
eq\f(1,a)Sn＝eq\f(1,a2)＋eq\f(2,a3)＋…＋eq\f(n－1,an)＋eq\f(n,an＋1).②
由①－②得(1－eq\f(1,a))Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)－eq\f(n,an＋1)＝eq\f(\f(1,a)(1－\f(1,an)),1－\f(1,a))－eq\f(n,an＋1)，
所以Sn＝eq\f(a(an－1)－n(a－1),an(a－1)2).
综上所述，Sn＝
【点拨】(1)若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法；
(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；
(3)当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.
【变式训练1】数列{eq\f(2n－3,2n－3)}的前n项和为()
A.4－eq\f(2n－1,2n－1) B.4＋eq\f(2n－7,2n－2) C.8－eq\f(2n＋1,2n－3) D.6－eq\f(3n＋2,2n－1)
【解析】取n＝1，eq\f(2n－3,2n－3)＝－4.故选C.
题型二分组并项求和法
【例2】求和Sn＝1＋(1＋eq\f(1,2))＋(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))＋…＋(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)).
【解析】和式中第k项为ak＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)＝eq\f(1－(\f(1,2))k,1－\f(1,2))＝2(1－eq\f(1,2k)).
所以Sn＝2[(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(1,22))＋…＋(1－eq\f(1,2n))]
＝－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))]
＝2[n－eq\f(\f(1,2)(1－\f(1,2n)),1－\f(1,2))]＝2[n－(1－eq\f(1,2n))]＝2n－2＋eq\f(1,2n－1).
【变式训练2】数列1,1＋2,1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为()
A.2n－1 B.n·2n－n
C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2
【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故选D.
题型三裂项相消法求和
【例3】数列{an}满足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq\f(1,n(14－an))(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若对任意非零自然数n，Tn＞eq\f(m,32)恒成立，求m的最大整数值.
【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
从而可知数列{an}为等差数列，设其公差为d，则d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝－2，
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)bn＝eq\f(1,n(14－an))＝eq\f(1,2n(n＋2))＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)[(eq\f(1,1)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,4))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))]
＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4(n＋1))－eq\f(1,4(n＋2))＞eq\f(m,