2014高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示教案 理 新人教A版.doc

4.2平面向量的基本定理及其坐标表示

典例精析
题型一平面向量基本定理的应用
【例1】如图▱ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知=a,=b,试用a，b表示，与
【解析】易知＝＋
＝＋eq\f(1,2)，
＝＋＝＋eq\f(1,2)，
即
所以＝eq\f(2,3)(2b－a)，＝eq\f(2,3)(2a－b).
所以＝＋＝eq\f(2,3)(a＋b).
【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.
【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于()
A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.1 D.2
【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选C.
题型二向量的坐标运算
【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
(2)u∥v⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
⇔
⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.
【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.
【变式训练2】已知向量an＝(coseq\f(nπ,7)，sineq\f(nπ,7))(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为.
【解析】设b＝(cosθ，sinθ)，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(coseq\f(π,7)，sineq\f(π,7))(cosθ，sinθ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(coseq\f(141π,7)，sineq\f(141π,7))(cosθ，sinθ)＝282＋2cos(eq\f(π,7)－θ)，所以y的最大值为284.
题型三平行(共线)向量的坐标运算
【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积.
【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.
(2)因为m⊥p，所以m·p＝0，即
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).
【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则
①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.
【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为()
A.10－5eq\r(3) B.10＋5eq\r(3)
C.10－2eq\r(3) D.10＋2eq\r(3)
【解析】由m⊥n得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－eq\f(1,2)或cosC＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2eq\r(ab)⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥5eq\r(3)，所以a＋b＋c≥10＋5eq\r(3)，当且仅当a＝b＝5时，等号成立.故选B.
总结提高
1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟