【创新方案】2014届高考数学一轮复习 4.2平面向量基本定理与坐标表示讲解与练习 理 新人教A版.doc

eq\a\vs4\al(第二节平面向量基本定理及坐标表示)

[备考方向要明了]

考什么怎么考1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.本节内容在高考中一般不单独命题，常常是结合向量的其他知识命制综合性的小题，这些小题多属于中低档题，问题常常涉及以下几个方面：
(1)结合向量的坐标运算求向量的值，如2012年重庆T6等．
(2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示，如2012年广东T3等．
(3)结合向量的垂直与共线等知识，求解参数问题，如2011年北京T10等.

[归纳·知识整合]
1．两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围
向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是eq\f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)
[探究]1.向量的坐标与点的坐标有何不同？
提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同．
3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.
[探究]2.相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？
提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，则＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，则＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D四点坐标均不相同．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)吗？
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．
[自测·牛刀小试]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝()
A．4a－2b B．4a＋2b
C．－2a＋4b D．2a＋4b
解析：选A设c＝λa＋μb，则有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，从而μ＝－2，
故c＝4a－2b.
2．下列各组向量中，能作为基底的组数为()
①a＝(－1,2)，b＝(5,7)；
②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)；
③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C对①，由于－1×7－2×5≠0，所以a与b不共线，故a，b可作为基底；对②，由于b＝2a，a与b共线，不能作为基底；对③，由于－34×2＋3×12≠0，所以a与b不共线，故a，b可作为基底．
3．设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选A设a＝λb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,1＝mλ，))
即λ＝±1，又∵a与b共线且方向相反，
∴λ<0，即λ＝－1.
4．(教材习题改编)在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________．
解析：设＝(x，y)，∵＝＋
∴(1,3)＝(2,4)＋(x，y)，
∴eq\