2014高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示教案 理 新人教A版.doc

34.2平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD中MN分别是DCBC中点.已知=a=b试用ab表示与【解析】易知＝＋＝＋eq\f(12)＝＋＝＋eq\f(12)即所以＝eq\f(23)(2b－a)＝eq\f(23)(2a－b).所以＝＋＝eq\f(23)(a＋b).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点△ABC所在平面内有一点P满足＋＋＝0则等于()A.eq\f(13)B.eq\f(12)C.1D.2【解析】由于D为BC边上的中点因此由向量加法的平行四边形法则易知＋＝2因此结合＋＋＝0即得＝2因此易得PAD三点共线且D是PA的中点所以＝1即选C.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(11)b＝(x1)u＝a＋2bv＝2a－b.(1)若u＝3v求x；(2)若u∥v求x.【解析】因为a＝(11)b＝(x1)所以u＝(11)＋2(x1)＝(11)＋(2x2)＝(2x＋13)v＝2(11)－(x1)＝(2－x1).(1)u＝3v⇔(2x＋13)＝3(2－x1)⇔(2x＋13)＝(6－3x3)所以2x＋1＝6－3x解得x＝1.(2)u∥v⇔(2x＋13)＝λ(2－x1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说向量相等即坐标相等这一点在解题中很重要应引起重视.【变式训练2】已知向量an＝(coseq\f(nπ7)sineq\f(nπ7))(n∈N*)|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为.【解析】设b＝(cosθsinθ)所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(coseq\f(π7)sineq\f(π7))(cosθsinθ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(coseq\f(141π7)sineq\f(141π7))(cosθsinθ)＝282＋2cos(eq\f(π7)－θ)所以y的最大值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC的角ABC所对的边分别是abc设向量m＝(ab)n＝(sinBsinA)p＝(b－2a－2).(1)若m∥n求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p边长c＝2角C＝eq\f(π3)求△ABC的面积.【解析】(1)证明：因为m∥n所以asinA＝bsinB.由正弦定理得a2＝b2即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.(2)因为m⊥p所以m·p＝0即a(b－2)＋b(a－2)＝0所以a＋b＝ab.由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).所以S△ABC＝eq\f(12)absinC＝eq\f(12)×4×eq\f(\r(3)2)＝eq\r(3).【点拨】设m＝(x1y1)n＝(x2y2)则①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知abc分别为△ABC的三个内角ABC的对边向量m＝(2cosC－1－2)n＝(cosCcosC＋1).若m⊥n且a＋b＝10则△ABC周长的最小值为()A.10－5eq\r(3)B.10＋5eq\r(3)C.10－2eq\r(3)D.10＋2eq\r(3)【解析】由m⊥n得2cos2C－3cosC－2＝0解得cosC＝－eq\f(12)或cosC＝2(舍去)所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab由10＝a＋b≥2eq\r(ab)⇒ab≤25所以c2≥75即c≥5eq\r(3)所以a＋b＋c≥10＋5eq\r(3)当且仅当a＝b＝5时等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示实际是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后即可使向量运算完全代数化将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则坐标形式即代入向量的直角坐标.