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高考热点追踪(四) 体积、表面积创新试题两例赏析 随着课改的深入,高考考查考生的创新意识已逐年增强,有些试题不仅“立意”新颖,而且在“求解途径、求解方法”上也力求创新.以下采用空间几何体体积、表面积两例,加以剖析,以感受其“立意”之新、“求解”之新,从而领略其蕴含的创新意识和探究能力. (2019·苏州模拟)某市为创建国家级旅游城市,市政府决定实施“景观工程”,对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”.计划将平顶房屋改为尖顶,并铺上彩色瓦片.现对某幢房屋有如下两种改造方案: 方案1:坡顶如图1所示,为侧顶面是等腰三角形的直三棱柱,尖顶屋脊AA1的长度与房屋长度BB1等长,有两个坡面需铺上瓦片. 方案2:坡顶如图2所示,为由图1消去两端相同的两个三棱锥而得,尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短,有四个坡面需铺上瓦片. 若房屋长BB1=2a,宽BC=2b,屋脊高为h,试问哪种尖顶铺设的瓦片比较省?说明理由. 【解】作AE⊥BC,即AE⊥平面B1BCC1,AE为屋脊的高,故AE=h. 由DB=DC,得DE⊥BC,故AB=eq\r(h2+b2). 设AD长为x,则DE=eq\r(h2+x2), 所以,S△BCD=eq\f(1,2)BC·DE=eq\f(1,2)·2b·eq\r(h2+x2)=beq\r(h2+x2),S△ABD+S△ACD=xeq\r(h2+b2). 由于面积均为正数,所以只需比较(S△ABD+S△ACD)2与(S△BCD)2的大小. 事实上:(S△ABD+S△ACD)2-(S△BCD)2=x2(h2+b2)-b2(h2+x2)=x2h2-b2h2=h2(x2-b2). 所以分b>x,b=x,b<x三种情况讨论,得结果为: (1)若AD之长小于房屋宽度的一半时,图1尖顶铺设的瓦片较省; (2)若AD之长等于房屋宽度的一半时,两种尖顶铺设的瓦片数相同; (3)若AD之长大于房屋宽度的一半时,图2尖顶铺设的瓦片较省. [名师点评]近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. (2019·南京、盐城模拟)如图,正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为4,侧棱长为a,过BC的截面为DBC.E为BC的中点且∠DEA=30°. (1)分别就a=3和a=1计算截面的面积; (2)记该截面的面积为f(a),求f(a)的最大值. 【解】(1)因为∠DEA=30°,等边△ABC边长为4, 所以AE=2eq\r(3). 在Rt△DAE中,DA=AE·tan∠DEA=2. ①当a=3时,D点在侧棱AA1上,截面为△BCD, 在Rt△DAE中, DE=eq\r(AD2+AE2)=4, 所以S△BCD=eq\f(1,2)BC·DE=eq\f(1,2)×4×4=8. ②当a=1时,D点在AA1延长线上,截面为梯形BCNM,因为AD=2,AA1=1,所以MN是△DBC的中位线,所以S梯形BCNM=eq\f(3,4)S△DBC=eq\f(3,4)×8=6. (2)当a≥2时,截面与正三棱柱ABC­A1B1C1的棱AA1相交于D点,此时截面为△BCD,其面积为S△BCD=eq\f(1,2)BC·DE=eq\f(1,2)×4×4=8; 当0<a<2时,截面为梯形BCNM,但是始终有DA=AE·tan∠DEA=2, 由△BCD∽△MND, 得eq\f(DF,DE)=eq\f(DA1,DA)=eq\f(2-a,2), 所以S梯形BCNM=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2-a,2)))\s\up12(2)))×S△BCD=eq\f(4a-a2,4)×8 =2a(4-a). 所以f(a)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8,a≥2,,2a(4-a),0<a<2,)) 于是当a≥2时,该函数的最大值为8. [名师点评]截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型,由于截面的“动态”性,使截得的结果也具有一定的可变性.涉及多面体的截面问题,都要经过先确定截面形状,再解决问题的过程,本例通过改变侧棱长而改变了截面形状;也可以通过确定侧棱长,改变截面与底面所成角而改变截面形状. 平行问题是高考中热点问题,其中最重要的又是线线平行的判定,因为它是证明线面平行,面面平行的基础,下面举例解析线线平行的判定方法. 一、利用中位线定理得线线平行 题目中给出中点条件时,往