（江苏专用）高考数学二轮复习 专题三 数列 高考热点追踪（三）学案 文 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

高考热点追踪(三)交汇性试题向来是高考试题中最为亮丽的风景线这类问题着重考查观察发现类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力．下面举例说明数列的交汇性运用请同学们赏析．一、数列与几何图形交汇(2019·南通模拟)如图是一个面积为1的三角形现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点构成4个三角形挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示)并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示)同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点再挖去各自中间的三角形同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为an．(1)求a1、a2；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的eq\f(14)问至少经过多少次操作？(3)求第n次操作后挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn．【解】(1)a1＝eq\f(34)a2＝eq\f(916)．(2)因为{an}是以eq\f(34)为首项以eq\f(34)为公比的等比数列所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34)))eq\s\up12(n)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34)))eq\s\up12(n)<eq\f(14)得3n<4n－1．因为31>4032>4133>4234>4335<44所以当n＝5时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34)))eq\s\up12(n)<eq\f(14)．所以至少经过5次操作可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的eq\f(14)．(3)设第n次操作挖去bn个三角形则{bn}是以1为首项3为公比的等比数列即bn＝3n－1．所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Sn＝1×1＋2×3＋…＋n×3n－1则3Sn＝1×3＋2×32＋…＋n×3n两式相减得－2Sn＝(1＋3＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝eq\f(3n－12)－n×3n故Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2)－\f(14)))×3n＋eq\f(14)．[名师点评]本题把几何问题与代数解法自然联系起来．从运算到推理都要有很强的思维判断性和熟练的解题技能．合理的推断能使解题简捷、运算简单节约大量的解题时间反之则会因运算繁杂不断出错而无法进行下去这体现了有较高的思维水平者因能善于运用思维而赢得解题时间是高层次的解决问题能力的标志．二、数列与三角函数交汇已知函数f(x)＝eq\f(\r(3)2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π6)))－eq\f(12)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π6)))．(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；(2)若函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2)))x>0且函数g(x)的图象与直线y＝eq\f(\r(3)2)交点的横坐标由小到大依次是x1x2…xn求数列{xn}的前100项和．【解】f(x)＝eq\f(\r(3)2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π6)))－eq\f(12)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π6)－\f(π6)))＝sin2x．(1)函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π2)＝π．令2kπ＋eq\f(π2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3π2)k∈Z得kπ＋eq\f(π4)≤x≤kπ＋eq\f(3π4)k∈Z所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π4)kπ＋\f(3π4)))k∈Z．(2)法一：因为g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2)))所以g(x)＝sinxx>0．由sinx＝eq\f(\r(3)2)x>0得x＝2kπ＋eq\f(π3)k∈N或x＝2kπ＋eq\f(2π3)k∈N所以x1＋x2＋…＋x99＋x