（江苏专用）高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 高考热点追踪（六）学案 文 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

高考热点追踪(六)

“交融”在本质
高考对复数要求不高，但仍是常考内容．纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题．
(2019·南京模拟)已知O为坐标原点，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))分别对应复数z1，z2，且z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i(a∈R)，若eq\x\to(z)1＋z2是实数．
(1)求实数a的值；
(2)求以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积．
【解】(1)因为eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)－(10－a2)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋(a2＋2a－15)i是实数，
所以a2＋2a－15＝0．
所以a＝3，a＝－5(舍去)．故a＝3．
(2)由(1)知，z1＝eq\f(3,8)＋i，z2＝－1＋i，
所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，1))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－1，1)，
所以|eq\o(OZ1,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(73),8)，|eq\o(OZ2,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，
cos〈eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OZ1,\s\up6(→))·\o(OZ2,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OZ1,\s\up6(→))||\o(OZ2,\s\up6(→))|))＝eq\f(－\f(3,8)＋1,\f(\r(73),8)×\r(2))＝eq\f(5,\r(146))．
所以sin〈eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\f(25,146))＝eq\f(11,\r(146))，
所以S▱＝|eq\o(OZ1,\s\up6(→))||eq\o(OZ2,\s\up6(→))|sin〈eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(73),8)×eq\r(2)×eq\f(11,\r(146))＝eq\f(11,8)．
所以平行四边形的面积为eq\f(11,8)．
[名师点评]在复平面内，如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系．
已知a，b，c，d∈R，对于复数z＝a＋bi，有z(4－i)是纯虚数，(z＋2)(1－4i)是实数，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0处有极值－2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)是否存在整数m，使得方程f(x)＝0在区间(m，m＋1)内有且仅有一个实数根．若存在，求出所有m的值，若不存在，请说明理由．
【解】(1)因为z(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i是纯虚数，
(z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i是实数，且a，b∈R，
所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝0，,－a＋4b≠0，,4a－b＋8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4，))
又因为f(x)在x＝0处有极值－2，所以f′(0)＝0，f(0)＝－2，
得到c＝0，d＝－2，
所以f(x)＝－x3＋4x2－2，
则f′(x)＝－3x2＋8x＝－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,3)))，
f′(x)>0⇔0<x<eq\f(8,3)，f′(x)<0⇔x<0或x>eq\f(8,3)．
所以f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))，单调递减区间是(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞))．
(2)由(1)知：当x＝0时，f(x)有极小值－2<0；当x＝eq\f(8,3)时，