（江苏专用）高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考热点追踪（五）学案 文 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

高考热点追踪(五)圆锥曲线交汇大观交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型它多姿多彩的格调、清新优美的风采构成了高考试题中一道亮丽的风景．圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点成为联系多项内容的媒介下面例析圆锥曲线与其他知识的交汇．一、圆锥曲线与导数交汇(2019·扬州期末)已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a如果直线l同时是C1和C2的切线称l是C1和C2的公切线公切线上两个切点之间的线段称为公切线段．(1)a取什么值时C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线证明相应的两条公切线段互相平分．【解】(1)函数y＝x2＋2x的导数y′＝2x＋2曲线C1在点P(x1xeq\o\al(21)＋2x1)的切线方程是：y－(xeq\o\al(21)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)即y＝(2x1＋2)x－xeq\o\al(21)①函数y＝－x2＋a的导数y′＝－2x曲线C2在点Q(x2－xeq\o\al(22)＋a)的切线方程是y－(－xeq\o\al(22)＋a)＝－2x2(x－x2)即y＝－2x2x＋xeq\o\al(22)＋a②如果直线l是过P和Q的公切线则①式和②式都是l的方程所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝－x2－xeq\o\al(21)＝xeq\o\al(22)＋a))消去x2得方程2xeq\o\al(21)＋2x1＋1＋a＝0若判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0时即a＝－eq\f(12)时解得x1＝－eq\f(12)此时点P与Q重合．即当a＝－eq\f(12)时C1和C2有且仅有一条公切线由①得公切线方程为y＝x－eq\f(14)．(2)证明：由(1)可知．当a<－eq\f(12)时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P(x1y1)Q(x2y2)．其中P在C1上Q在C2上则有x1＋x2＝－1y1＋y2＝xeq\o\al(21)＋2x1＋(－xeq\o\al(22)＋a)＝xeq\o\al(21)＋2x1－(－x1－1)2＋a＝－1＋a线段PQ的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)\f(－1＋a2)))．同理另一条公切线段P′Q′的中点也是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)\f(－1＋a2)))．所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．[名师点评]解析几何与导数交汇的试题别致新颖是高考的冷点．求解时要充分利用导数、解析几何的概念、性质最好结合图形来求解．二、圆锥曲线与数列交汇(2019·江苏省高考名校联考(四))在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C：eq\f(x2a2)＋eq\f(y2b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(3)2)一条准线方程为x＝eq\f(4\r(3)3)．(1)求椭圆C的方程；(2)若F1F2分别是椭圆C的左、右焦点D为椭圆C上的动点求eq\o(DF1\s\up6(→))·eq\o(DF2\s\up6(→))的取值范围；(3)若不过原点O的直线l与椭圆C交于PQ两点且满足直线OPPQOQ的斜率依次成等比数列求直线l的斜率．【解】(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(ca)＝\f(\r(3)2)\f(a2c)＝\f(4\r(3)3)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c＝\r(3)))又a2＝b2＋c2所以b2＝1故椭圆C的方程为eq\f(x24)＋y2＝1．(2)由(1)得F1(－eq\r(3)0)F2(eq\r(3)0)设点D(xy)则eq\o(DF1\s\up6(→))·eq\o(DF2\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3))(x－eq\r(3))＋y2＝x2＋y2－3．又eq\f(x24)＋y2＝1x∈[－22]所以eq\o(DF1\s\up6(→))·eq\o(DF2\s\up6(→))＝eq\f(3x24)－2∈[－21]所以eq\o(DF1\s\up6(→))·eq\o(DF2\s\up6(→))的取值范围是[－21]．(3)由题意得直线l不过原点且斜率存在设直线l：y＝kx＋m(m≠0)P(x1y1)Q(x2y2)联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m\f(x24)＋y2＝1