高考数学二轮复习 考前专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲 集合与常用逻辑用语讲学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第1讲集合与常用逻辑用语

1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．
2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．

热点一集合的关系及运算
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
例1(1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{y|y＝2x，x≥0}，则A∩B等于()
A．∅ B．{x|1<x<2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2}
答案C
解析由已知可得A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥1}⇒A∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.
(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；②M＝{(x，y)|y＝sinx}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝lgx}．
其中所有“理想集合”的序号是()
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
答案B
解析由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由x1x2＋y1y2＝0可知，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)).①项，y＝eq\f(1,x)是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A，B在同一支上时，∠AOB<90°，当点A，B不在同一支上时，∠AOB>90°，不存在eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))成立，故错误．综合②③正确，故选B.
思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
跟踪演练1(1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A＝{x∈N|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－4＝0}，下列结论成立的是()
A．B⊆A B．A∪B＝A
C．A∩B＝A D．A∩B＝{2}
(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA－CB，CA≥CB，,CB－CA，CA<CB，))若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)等于()
A.4 B.3
C.2 D.1
答案(1)D(2)B
解析(1)A＝{x∈N|1≤x≤4}，
B＝{x|x＝±2}⇒A∩B＝{2}，故选D.
(2)由A＝{1,2}，得C(A)＝2，
由A*B＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.
由(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，
得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.
当C(B)＝1时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0只有实根x＝0，这时a＝0；
当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a.由Δ＝a2－8＝0，得a＝±2eq\r(2)，可验证均满足题意，故S＝{－2eq\r(2)，0,2eq\r(2)}，故C(S)＝3.
热点二四种命题与充要条件
1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．
2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．
例2