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蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中王振香
数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.
一函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决.
例1．已知数列是等差数列，若，，求.
分析：因是等差数列，则知也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题.
解：，故为等差数列，
其通项为一次函数，将之设为，则点、在其图象上，，，则解得.
故，解之得.
评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建立一次函数来求解.当然更可利用结论“成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.
二方程（组）思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程组而求解.如，数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
例2．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，以此求的通项公式.
分析：由题设“与2的等差中项等于与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
解：由题意可知，整理得：，
当时，，解得.
又-，整理得：.又，
，即是首项为2、公差为4的等差数列，.
点评：本例利用了方程的消元思想由、消去得到了
这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助消去利用递推关系解题.
例3．已知等差数列的公差是正数，并且，求前n项的和.
分析：由可知，结合条件可得相关方程.
解：由等差数列知：，从而，
故是方程的两根，又，解之得：.
再解方程组，因此有.
点评：本题利用了这一性质构造了二次方程，从中巧妙的解出了两个量
，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径.
三分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4．设等比数列的公比为，前n项和.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小.
分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.
解：（Ⅰ）因为是等比数列，
当

上式等价于不等式组：①或②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由得，则其前n项和.
于是
又∵>0且－1<<0或>0.
当或时即
当且≠0时，即
当或=2时，即
点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对公差d的分类讨论、对公比q的分类讨论、对项数n的分类讨论.
四化归与转化的思想
数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n项和.由于数列种类繁多，对一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比较熟悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.
例5．已知数列的首项，前n项和为，且，求的通项公式.
分析与略解：当n≥2时，，.
两式相减，得，将之变形为.
可见是公比为2的等比数列.
又，，得，则.
因此.两边同除以，得（常数），
可见是首项为，公差为的等差数列.
因此，从而.
评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度.化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.
结束语：当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推（归）的思想”等.数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累、解题方法的提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性.因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识.