正弦定理、余弦定理的应用.docx

北师大版高中数学必修五
正弦定理、余弦定理的应用
辽宁省北票市保国学校丛日艳
教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
教学方法：启发引导式
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：

，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：

证：左边=
==0=右边
例2在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90即b<a∴A=60或120
当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：当时

从而A=60，C=75当时同理可求得：A=120，C=15
例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC•BC•osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：解之：（舍去）
由余弦定理：∴
例5△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边且
∵C为钝角∴解得
∵∴或3但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S当时S最大=
例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC
∴
解得，ｘ＝2,所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴,∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°,∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30°cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根