定积分与微积分及基本定理.docx

第4讲定积分与微积分的基本定理
★知识梳理★
1、定积分概念
定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
2、定积分性质
（1）；
（2）
（3）
3、微积分基本定理
一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.
4．、常见求定积分的公式
（1） （2）（C为常数）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
★热点考点题型探析★
考点1:定积分的计算
题型1.计算常见函数的定积分
例1.求下列定积分
（1） （2） （3）
【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.
解：（1）

（2）

（3）
【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.
题型2:换元法求定积分
例2.计算:
【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.
解析：

【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.
题型3:计算分段函数定积分
例3.求
【解题思路】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.
解析：

【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.
题型4:定积分的逆运算
例4.已知求函数的最小值.
【解题思路】：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.
解析：

当时，最小=1
当时，最小=1
【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系.积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。
【新题导练】.
1．(广东省揭阳二中2010届高三上学期期中考试)计算：
解析:8
2..设则=（）
A. B. C. D.不存在
解析选C
考点2:定积分的应用
题型1.求平面区域的面积
例1求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
【解题思路】：因为在上，，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.
y
解析：作出在上的图象如右
Л
0
x
与轴交于0、、，所
2Л
求积
【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：
第一步：画出图形，确定图形范围
第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限
第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置
第四步：计算定积分，求出平面图形面积
题型2.物理方面的应用
例2.汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？
【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.
解析：由题意，千米/时米/秒
，令得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
公里
答：汽车走了0.0373公里.
【名师指引】t
v
a
b
o
V=v(t)
若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间
内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，
即路程；如果
时，则路程.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.（2010年广东北江中学高三第二次月考）=

2.(2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题)．

3.=

4.已知,当=时,.恒成立

5.求曲线，及所围成的平面图形的面积.
思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间上，，及围成，第一部分在上由与围成，所以所求面积应为两部分面积之和.
y=x2
y=2x
y
解：作出，及的图如右
B(2,4)
解方程组得
A(1,1)
y=x
2
1
x
o
解方程组得
所求面积

答：此平面图形的面积为
综合拔高训练
6.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图