定积分与微积分基本定理.docx

第一章第十三节定积分与微积分基本定理（理）题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8则f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx∵原函数为偶函数∴在y轴两侧的图象对称∴对应的面积相等即8×2＝16.答案：D2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x∈[01]2－xx∈[12]))则f(x)dx等于()A.eq\f(34)B.eq\f(45)C.eq\f(56)D．不存在解析：数形结合f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C3．计算以下定积分：(1)(2x2－eq\f(1x))dx；(2)(eq\r(x)＋eq\f(1\r(x)))2dx；(3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－eq\f(1x))dx＝(eq\f(23)x3－lnx)＝eq\f(163)－ln2－eq\f(23)＝eq\f(143)－ln2.(2)(eq\r(x)＋eq\f(1\r(x)))2dx＝(x＋eq\f(1x)＋2)dx＝(eq\f(12)x2＋lnx＋2x)＝(eq\f(92)＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝lneq\f(32)＋eq\f(92).(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋eq\f(12)cos2x)＝(－eq\f(12)－eq\f(14))－(－1＋eq\f(12))＝－eq\f(14).题组二求曲多边形的面积4．如图函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)则该闭合图形的面积是()A．1B.eq\f(43)C.eq\r(3)D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(01)和(21)所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝eq\f(43).答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为eq\f(43)则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0k]再由(kx－x2)dx＝(eq\f(kx22)－eq\f(x33))＝eq\f(k36)＝eq\f(43)求得k＝2.答案：26．如图设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(24)移动记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1S2若S1＝S2则点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kxP点的坐标为(xy)则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx即(eq\f(12)kx2－eq\f(13)x3)＝(eq\f(13)x3－eq\f(12)kx2)解得eq\f(12)kx2－eq\f(13)x3＝eq\f(83)－2k－(eq\f(13)x3－eq\f(12)kx2)解得k＝eq\f(43)即直线OP的方程为y＝eq\f(43)x所以点P的坐标为(eq\f(43)eq\f(169))．答案：(eq\f(43)eq\f(169))题组三定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2质点作直线运动则此物体在时间[12]内的位移为()A.eq\f(176)B.eq\f(143)C.eq\f(136)D.eq\f(116)解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(eq\f(13)t3－eq\f(12)t2＋2t)|eq\o\al(21)＝eq\f(176).答案：A8．若1N的力能使弹簧伸长1cm现在要使弹簧伸长10cm则需要花费的功为()A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：设力F＝kx(k是比例系数)当F＝1N时x＝0.01m可解