定积分与微积分基本定理.docx

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时间：2021年x月x日
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第一章第十三节定积分与微积分基本定理（理）

题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于()
A．0B．4C．8D．16
解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，
∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即8×2＝16.
答案：D
2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈[1，2]，))则f(x)dx等于()
A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D．不存在
解析：数形结合，
f(x)dx=x2dx+(2-x)dx
=
=.
答案：C
3．计算以下定积分：
(1)(2x2－eq\f(1,x))dx；
(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx；
(3)(sinx－sin2x)dx；
解：(1)(2x2－eq\f(1,x))dx＝(eq\f(2,3)x3－lnx)
＝eq\f(16,3)－ln2－eq\f(2,3)＝eq\f(14,3)－ln2.
(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx＝(x＋eq\f(1,x)＋2)dx
＝(eq\f(1,2)x2＋lnx＋2x)
＝(eq\f(9,2)＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)
＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,2).
(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋eq\f(1,2)cos2x)
＝(－eq\f(1,2)－eq\f(1,4))－(－1＋eq\f(1,2))＝－eq\f(1,4).

题组二求曲多边形的面积

4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交构成一个闭合
图形(图中的暗影部分)，则该闭合图形的面积是()
A．1B.eq\f(4,3)C.eq\r(3)D．2
解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝eq\f(4,3).
答案：B
5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分
(如图所示)的面积为eq\f(4,3)，则k＝________.
解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，
再由(kx－x2)dx＝(eq\f(kx2,2)－eq\f(x3,3))＝eq\f(k3,6)＝eq\f(4,3)求得k＝2.
答案：2

6．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)挪动，
记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积
分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．
解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，
则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，
即(eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3)＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，
解得eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)－2k－(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，
解得k＝eq\f(4,3)，即直线OP的方程为y＝eq\f(4,3)x，所以点P的坐标为(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))．
答案：(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))

题组三定积分在物理中的运用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()
A.eq\f(17,6)B.eq\f(14,3)C.eq\f(13,6)D.eq\f(11,6)
解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(eq\f(1,3)t3－eq\f(1,2)t2＋2t)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(17,6).
答案：A
8．若1N的力能使弹簧伸长1cm，如今要使弹簧伸长10cm，则需求花费的功为()
A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J
解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，则F＝100x，所以W＝100x